Este libro aun continua en desarrollo, está pensado para estudiantes que se inician en el estudio de la geometría de olimpiadas, los primeros capítulos incluso pueden ayudar a los estudiantes que sólo desean mejorar o complementar sus conocimientos de geometría escolarizada (secundaria o bachillerato).
Uno de estos días abrimos en la Universidad (de Tamaulipas) un taller sabatino denominado “Taller de ciencia para jóvenes”. Acudieron a la convocatoria dos profesores de secundaria con 7 alumnos y un profesor jubilado.
El que esto escribe estuvo a cargo de la primera sesión con la intención de empezar a desarrollar el tema “Números complejos y Geometría Euclideana”, un tema que me parece muy productivo para la solución de problemas geométricos desde un punto de vista algebraico.
La edad de los asistentes me hizo dudar y mejor les pregunté: ¿traen algún problema de geometría que quisieran resolver aquí conmigo? Y su respuesta me hizo dejar en suspenso el tema de los complejos y entrar al de congruencia de triángulos. (Congruencia de triángulos es un tema elemental pero que tiene más potencial de lo que uno puede creer para la solución de problemas.)
Presento entonces los cuatro problemas que discutimos en el taller junto con sus soluciones, todas ellas con congruencia de triángulos.
Los chicos sacaron su cuaderno y me plantearon el
Problema 1:En el triángulo ABC, con ángulo recto en B, los puntos E y F están en AC de tal manera que AE=AB y CF=CB. ¿Cuánto mide el ángulo EBF?
Solución:
(Decidí aceptar el reto de resolver (ayudar a resolver) este problema elemental de geometría que tiene sin embargo sus detalles finos. Empecé con una discusión sobre dibujar la figura y evocar significados teóricos a partir de los datos.)
La condición de igualdad de segmentos parece sugerir el uso de congruencia de triángulos. Pero una vez que ve uno más de cerca la figura (sobre todo después de trazar BF y BE) la hipótesis de congruencia debe ser sustituida por la de triángulos isósceles.
Así pues, es claro que los triángulos ABE y BCF son isósceles. Y una vez que se trae a presencia el concepto de triángulo isósceles, con él viene el de ángulos en la base iguales. ¿Es esto de alguna utilidad? ¿Puedo usarlo en la solución del problema?
Sí. Porque ello permite la puesta en marcha de la maquinaria algebraica: M=x+y, N=y+z.
Y un teorema elemental (la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180) llega a salvar toda la situación: M+N+y=180°.
Como, además, por dato sabemos que x+y+z=90°…un poco de algebra, nos lleva a la respuesta y=45.
Del libro de R. Bulajich y J.A. Gómez Ortega (Geometría)y que llevé ese primer día al taller elegí el
Problema 2.Sobre los lados AB y AC del triángulo ABC se construyen los equiláteros ABC’ y ACB’, los segmentos BB’ y CC’ son iguales. Demostrarlo.
Comentarios previos:
El problema es clásico, y es elemental pero difícil. Lo que me gustaría comentar antes de continuar con la solución es que la configuración clave (que “hace la luz” y que permite avanzar hacia la solución) hay que aislarla de la figura completa.
Quiero decir, la primera vez que uno aborda este problema la configuración clave permanece oculta a nuestra vista por largo tiempo –hasta que ve uno la solución o alguna sugerencia.
La sugerencia puede venir en la forma: “focaliza los triángulos ABB’ y ACC’…” La moraleja es entonces que el ojo del aprendiz de la geometría debe entrenarse…
Cuando el texto de geometría dice “claramente los triángulos ABB’ y AC’C son congruentes” lo que el aprendiz debe interpretar es un llamado a ver (comprobar) la veracidad de eso que se dice “claro”
En este caso el método de congruencia de triángulos está sugerido por la tesis de igualdad de los segmentos (el de buscar isósceles se descarta rápidamente…).
Si uno ya se ha formado la hipótesis de que la congruencia de triángulos es el método adecuado para el problema, lo que sigue es tratar de comprobarla. Y en esa indagación de prueba de hipótesis debe surgir algo… En ocasiones es conveniente un método visual: imaginar que uno de los triángulos gira y se acomoda sobre el otro –a final de cuentas ese el significado intuitivo de congruencia de triángulos…
¿Puede el lector imaginar el triángulo ACC’ girando contra reloj hasta colocarse sobre el ABB’? Bueno, lo de “colocarse sobre” requiere una comprobación aparte… Véase: AC debe colocarse sobre el AB’ (¿se puede?), AC’ sobre AB (¿es posible?) y C’C sobre BB’.
Esto último no podemos comprobarlo mediante argumentos basados en los datos directamente pero… Ahora faltaría ver el ángulo C’AC ¿es igual al BAB’?
Después que el aprendiz siguió este orden de ideas, lo que seguiría es ponerlo por escrito:
Demostración:
De aquí, por el criterio LAL, los triángulos ABB’ y AC´C son congruentes y el resultado se sigue.
Comentarios de clausura (al problema 2):
Se recomienda al aprendiz reproducir el argumento ante su profesor o ante alguien que sí esté en condiciones de evaluarlo justamente.
Esta actividad puede parecer redundante pero es muy útil en al menos dos aspectos: es un indicador de que se comprendió a cabalidad el argumento (y así se pone a prueba la propia comprensión), pero si no se logró la comprensión cabal entonces la exposición ante alguien que pueda evaluar el argumento es una oportunidad para la comprensión, para afinar los detalles,…
De http://www.arrakis.es/ [1], un sitio muy recomendable para los aficionados a las matemáticas de concurso --y que no anden ya en las internacionales— tomo el
Problema 3.Un triángulo ABC tiene en su interior un punto Q de tal manera que los ángulos en la base AB del ABQ son 10 y 20, en la base BC de BCQ son 100 y X, y en la base CA de CAQ son de T y 10. Encontrar T.
Comentarios previos y análisis:
El plan de ataque no es para nada obvio. Prolongando BQ hasta cortar en K la base AC, lo primero que se ve son dos isósceles(identificados por sus ángulos en la base: ABK y KCB ,20-20 y 40-40, respectivamente).
La forma de ver el isósceles KCB es por suma de ángulos y ángulo llano: en C tienen que ser 40 pues con 140 completa 180; en K tienen que ser 40 por ser adyacente de uno de 140.
Un plan obvio es: demostrar ACQ isósceles. Pero después de una breve exploración, tal plan es improbable de realizar –aparte de que posiblemente sea una ilusión óptica. (La dificultad de realizarlo es que no hay forma clara de demostrar AQ=QC.)
Ahora bien, uno puede estar seguro de que las pistas para su solución están en los datos. Por eso uno debería buscar la forma de relacionar los ángulos formando isósceles, equiláteros y/o triángulos congruentes hasta llegar al ángulo T buscado. Tenemos que focalizar esa esquina y buscar una configuración desde la cual la respuesta sea obvia.
La búsqueda de la configuración iluminadora puede llegar a ser desesperante. Sin embargo, aquí la regla es “buscar donde hay luz”: ¿Cómo puedo formar más isósceles? ¿Cómo puedo usar el hecho de que BQ es bisectriz?
Solución:
La bisectriz AQ se puede usar prolongándola y trazando una perpendicular a ella por B. Con eso ya aseguramos otro isósceles –pues la bisectriz es perpendicular a la base sólo si isósceles.
Es más: se forman dos isósceles --uno con vértice en A y otro con vértice en Q.
En la figura siguiente se presenta ese trazo auxiliar de la perpendicular a la bisectriz. Sea M su intersección con BC. Se puede ver que el ángulo QBM es de 60, dado que AQB es de 150 (un ángulo externo es la suma de los internos no adyacentes). Y como la bisectriz es también mediana, entonces, según el criterio LAL, tal bisectriz parte el triángulo BQM en dos congruentes –y se puede ver que BQM es equilátero.
Las pistas clave son la bisectriz BQ, la cual puede traer a presencia un isósceles.
Por otro lado, la perpendicular BM a la bisectriz forma el isósceles BMC (ángulos en la base de 40) y se logra ver que QM=MB=MC, es decir, se logra ver que QMC es isósceles. Y como en el vértice M el ángulo es de 160, el ángulo buscado mide 10.
Del mismo sitio mencionado arriba tomo el
Problema 4.El triángulo ABC es rectángulo isósceles. En su interior se toma un punto D de tal manera que DC=AC=AB. Encontrar el ángulo DCA si se sabe que es igual al DBC.
Análisis:
Lo primero que se debe hacer es dibujar la figura. Lo de equilátero isósceles es fácil. Lo del punto D que cumpla las condiciones es más difícil.
Y lo primero que hay que descubrir es que los ángulos en la base BC son de 45. Como el ángulo DCA es igual que el DBC, entonces los que completan a 45 (el ABD y el BCD) son también iguales.
Es casi obvio que debemos buscar una congruencia de triángulos pero… ¿de cuáles?
Solución:
Apliquemos una vez más la regla de “buscar en donde hay luz”. La luz se hace si dibujamos un trazo auxiliar: un equilátero sobre la base BC. Sea E el punto tal que EBC es equilátero. Entonces los triángulos EAB y EAC son congruentes (por LLL). Y éstos, a su vez son congruentes con el BDC.
Nótese que el ángulo en D es de 135. Pues (llamando x al ACD) el DBC es x y el BCD es 45 –x.
El ángulo EAC es también de 135, pues debe sumar 180 con el de 30 en E y el de 15 en B.
Tenemos pues dos lados y un ángulo correspondientemente iguales. ¿Hay un criterio LLA para congruencia?
Sí. Sólo que el ángulo debe ser el opuesto al lado mayor. (Como en este caso, y el resultado se sigue.)
A este criterio se acostumbra llamarlo el caso ambiguo y, para identificar el caso en que sí se da la congruencia (el ángulo es el opuesto al lado mayor), se le denomina criterio LlA. Para convencernos de la veracidad de este criterio consideremos la figura siguiente:
Podemos ver la figura como un problema de construcción de un triángulo dados el ángulo A, un lado AB sobre uno de los lados del ángulo y el lado opuesto BC. Para construirlo imaginemos las rectas l (donde vamos a ubicar B con el compás, centrado en A y con abertura AB ) y m (donde vamos a ubicar el vértice C también con el compás, centrado en B y con abertura BC).
Una vez dibujado el ángulo A, marcamos el vértice B sobre l. Al tratar de ubicar C sobre m pueden suceder tres casos:
--la recta m está a una distancia de B mayor que el lado BC (dado) opuesto de A: en ese caso no es posible triángulo alguno, pues la abertura del compás es insuficiente para cortar a m;
--la recta m está a una distancia de B igual al lado BC dado: en ese caso el compás sólo toca a m y ello basta para determinar C, formándose un único triángulo que es además rectángulo;
--finalmente, la recta m está a una distancia de B menor que el lado BC dado: en este caso el compás corta en dos puntos a m, con lo cual se obtienen dos posibilidades para C ( de ahí que el criterio sea ambiguo).
Pero si lado que estamos tratando de construir (el opuesto al ángulo dado) es el mayor, entonces uno de los cortes se ubicará del otro lado de A sobre la recta m y la ambigüedad se diluye. (Se deja al lector la verificación de esta última afirmación.).
Nota: la interpretación de LlA sería "lado mayor, lado menor y ángulo"
Para finalizar este apunte resuelva el lector los siguientes ejercicios.
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A lo largo de este capitulo veremos la definición de congruencia y algunos usos prácticos en la argumentación para la solución de problemas.
La congruencia no la definiremos formalmente si no hasta la sección "Congruencia de triángulos como noción intuitiva y su formalización [2]".
El concepto de congruencia está emparentado con el de igualdad y se espera que el aprendiz la conozca ya sea por su significado intuitivo a partir del lenguaje natural, o bien a través de su uso en la aritmética.
Es costumbre que en geometría se hable de congruencia en vez de igualdad. Por ejemplo dos segmentos son congruentes si y sólo si tienen la misma medida –y lo mismo es cierto para ángulos. Pero en el caso de dos triángulos la definición es más complicada pues no hay una medida (número) que defina a un triángulo.
Intuitivamente, dos triángulos se dice que son congruentes si todas sus medidas correspondientes son iguales: lados, ángulos, áreas, etcétera . Por ejemplo, en la siguiente figura se muestran tres triángulos congruentes:
Una posible razón razón al uso de la palabra congruencia en lugar de igualdad, es para remarcar que los triángulos pueden ser distintos, es decir, tienen todas sus medidas iguales, pero su posición y orientación en el plano pueden ser muy diferentes.
Como se sabe, hay diversas clasificaciones de triángulos que dan cuenta de su diversidad de forma: de acuerdo a la medida de sus ángulos pueden ser obtusángulos [3], rectángulos [4], acutángulos [5]; de acuerdo a la relación de las medidas de sus lados pueden ser equiláteros [6], isósceles [7], escalenos [8]. Es por eso que una noción previa a la definición de congruencia de triángulos es la de correspondencia. Y esto porque un triángulo (y cualquier polígono [9]) es una configuración que consiste de puntos y segmentos de recta (lados) que unen pares de puntos.
Decir que el triángulo $ABC$ está en correspondencia con el $PQR$ significa que la correspondencia entre sus vértices es $A \to P$, $B \to Q$ y $C \to R$. Y en esta correspondencia queda implícita la correspondencia entre sus lados: $AB \to PQ$, $BC \to QR$ y $CA \to RP$. Pero también queda implícita la correspondencia entre sus ángulos: el ángulo en $A$ (o bien, $\angle BAC $) corresponde al ángulo en $P$ (o bien, $\angle QPR$), etcétera.1
1). No todos los textos siguen esta convención, es decir, aun cuando afirmen “$ABC$ está en correspondencia con $IJK$” no respetan las reglas anteriores de las correspondencias implícitas –una lástima… pero qué se le va a hacer.
Después de haber descubierto el hecho de que dos triángulos son congruentes (iguales) es conveniente poner sus vértices en correspondencia.
Y cuando digo “descubierto” quiero decir que el cognizador descubre la congruencia por métodos intuitivos e informales, o quizá sea mejor decir, “la ve”. Pero una vez que “ve” la congruencia es conveniente formalizarla. Es conveniente porque una vez establecida la correspondencia de congruencia (en la forma en que se explica en la sección anterior [10]) ya no es necesario ver la figura para plantear ecuaciones o razones, pues como ya se explicó, las correspondencias entre ángulos y lados quedan implícitas en la correspondencia entre los triángulos.
Para poder ver la congruencia es necesario buscarla, es decir, algo (una frase, un dato,…) en el enunciado del problema debe sugerir que se puede usar congruencia para su solución. Y para encontrarla, una vez que se está buscando, es conveniente usar la definición intuitiva: dos triángulos son congruentes si pueden hacerse coincidir uno sobre el otro mediante giros, traslaciones y/o reflexiones.
La definición formal es:
Dos triángulos son congruentes si, existe una correspondencia entre sus vértices, de tal manera que lados y ángulos correspondientes son iguales.
Y se denotará así $ABC \cong PQR$ para indicar que el triángulo $ABC$ es congruente al triángulo $PQR$.
En una congruencia de triángulos entonces se tienen seis igualdades, tres lados y tres ángulos. Es por eso muy útil tener criterios que nos digan si dos triángulos son congruentes sin tener que verificar las seis igualdades.
Los criterios o principios de congruencia nos dicen cómo determinar si dos triángulos son congruentes sin necesidad de verificar las seis igualdades entre lados y ángulos correspondientes.
Criterio LAL (Lado-ángulo-lado). Es posiblemente el criterio de congruencia más básico, este criterio nos dice que si, en una correspondencia de triángulos, dos lados de uno y el ángulo comprendido entre ellos son iguales a sus correspondientes elementos en el otro, entonces los dos triángulos son congruentes.
Algunos textos de geometría –los más formales, en el sentido lógico— toman este criterio como axioma y demuestran los dos restantes, el ALA y el LLL. Otros textos –la mayoría— postulan como verdaderos los tres criterios. Es recomendable entonces que el aprendiz tome los tres como postulados pues, si de cualquier manera se va a tomar uno como postulado…
Criterio LLL (Lado-lado-lado). Este criterio afirma que si en una correspondencia de triángulos los lados correspondientes son iguales, entonces los triángulos serán congruentes.
Criterio ALA (Ángulo-lado-ángulo). Si en una correspondencia de triángulos, dos ángulos en uno de ellos y el lado común son iguales sus correspondientes del otro triángulo, entonces los triángulos serán congruentes.
Mostraremos ahora algunos problemas ejemplo donde resulta útil el criterio de congruencia LAL. Se le invita al lector a intentar primero resolver los ejercicio planteados y posteriormente leer la solución propuesta.
Advertencia: Esta instancia de uso es algo desconcertante cuando se ve por primera vez, así que se pide la cooperación cognitiva del lector. (El desconcierto se debe quizá a que el triángulo se pone en correspondencia consigo mismo, lo cual no está prohibido pero como que uno piensa que esa prohibición quedaba implícita en la definición de congruencia.)
Si un triángulo es isósceles entonces sus ángulos en la base son iguales. (Nota: se acostumbra entender por base, el tercer lado –los dos primeros son los que sabemos iguales.)
Demostración:
El isósceles que se muestra puede llamarse triángulo ABC. Pero, recorriendo sus vértices en el sentido opuesto puede llamarse triángulo BAC.
Es pues válida la correspondencia $ABC \cong BAC$.
Puesto que el triángulo es isósceles, CA=CB y BC=AC. También, como se trata del mismo triángulo, el ángulo formado en C es idéntico a sí mismo. Se tiene pues una correspondencia LAL y los dos triángulos son congruentes. Pero entonces los demás elementos puestos en correspondencia son también iguales. En particular el ángulo en A es igual al ángulo en B.
En un triángulo isósceles, la bisectriz del ángulo opuesto a la base divide al triángulo en dos congruentes.
Demostración:
En la figura de arriba trácese la bisectriz del ángulo C y suponga que corta al lado AB en M. Por hipótesis los ángulos ACM y MCB son iguales. Esto sugiere la correspondencia C-C. Por otro lado, también por hipótesis, AC=CB. Esto sugiere la correspondencia A-B, y el otro punto común a los triángulos formados por la bisectriz es M, lo cual sugiere la correspondencia M-M.
Así pues, probemos la correspondencia ACM-BCM. Tenemos, AC=BC y CM=CM, falta ver si el ángulo formado por AC y CM es igual al formado por BC y CM. Pero eso es cierto por ser CM bisectriz. Así que podemos usar el criterio LAL para establecer que los triángulos puestos en correspondencia son congruentes.
De esta congruencia así establecida se siguen varios
Corolarios (para isósceles):
El segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralelo al tercero y mide la mitad de éste.
Este es un teorema muy útil en la solución de problemas geométricos. De hecho se trata de dos teoremas de la línea media (el otro dice: paralela a la base por punto medio pasa por el punto medio) y pueden ser demostrados usando trazos auxiliares para formar triángulos congruentes.
Estas demostraciones son muy instructivas para el aprendiz pues, además de ser instancias de uso de la congruencia de triángulos, dejan una lección sobre las condiciones que debe cumplir un cuadrilátero para ser paralelogramo. (Línea media se acostumbra llamar al segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo.)
La línea media de un triángulo es paralela a la base y mide la mitad de ésta.
Demostración:
Tracemos la línea media MN de los lados AB y AC del triángulo ABC. El trazo auxiliar que necesitamos es prolongar MN hasta D de tal manera que MN=ND. (Nota: la demostración es clásica y es instructiva de cómo usar trazos auxiliares en la solución de problemas geométricos.)
Los triángulos MNA y DNC son congruentes (criterio LAL).
De aquí que los ángulos MAN y NCD son guales. Como son alternos internos se concluye que CD//MB. También por congruencia, MA=DC.
Pero entonces tenemos que MBCD es paralelogramo (dos opuestos iguales y paralelos). Así que, como MBCD es paralelogramo, se puede concluir que MN//BC y 2MN=BC, como se quería.
Comentario:
Es conveniente que el lector practique en otros ejercicios los argumentos “alternos internos iguales, luego paralelas” y “lados opuestos iguales y paralelos, luego paralelogramo” (de paso puede demostrar esto último usando un argumento de congruencia de triángulos).
La paralela a la base que pasa por el punto medio de un lado pasa también por el punto medio del otro lado.
Demostración:
Otra vez el trazo auxiliar que ayuda a la demostración es clásico y muy instructivo. Sea ABC el triángulo y N el punto medio de AC. Por N tracemos una paralela NM a la base BC. Vamos a demostrar que M es punto medio de AC.
El trazo auxiliar consiste en el segmento que une N con el punto medio K de la base BC. Este trazo nos permite aplicar el primer teorema de la línea media y asegurar KN//AB y KN=AB/2. Pero entonces:
--son iguales los ángulos KNC y MAN (por ser correspondientes),
--son iguales los ángulos CKN y NMA (por tener lados paralelos),
--NC=AN (por hipótesis).
(Datos: AN=NC, NM//BC, BK=KC.)
Conclusión: Los triángulos AMN y NKC son congruentes (criterio LAA).
De aquí que KN=AM. Pero, por ser línea media, 2KN=AB. Es decir, 2AM=AB como se quería.
(Nota: podría argumentarse también que KN=MB por ser MNKB paralelogramo, y…)
La demostración del siguiente teorema es instructiva de cómo un trazo auxiliar permite el uso de resultados elementales (en este caso congruencia de triángulos) en la solución de problemas geométricos.
Pero también nos enseña el razonamiento en reversa, muy útil en la demostración de teoremas geométricos del tipo “si y sólo si.” No está de más añadir que lo más instructivo de las demostraciones de los teoremas elementales de geometría es la construcción de las figuras.
El aprendiz debería aprovechar la oportunidad para afinar sus habilidades en la construcción de figuras geométricas –y su profesor debería darle la ayuda ajustada. Y ahora que digo esto voy a detallar la construcción de la figura, aunque sea sólo por esta vez.
Teorema de las medianas del isósceles:
Un triángulo es isósceles si y sólo si dos de sus medianas son iguales.
Demostración:
Vamos a demostrar primero la parte “sólo si” (isósceles sólo si medianas iguales). Lo primero que hago es dibujar un isósceles ABC y los puntos medios M y N de los lados AB y AC, respectivamente. (Lo siento, no puedo detallarlo tanto; si el lector no sabe cómo construir un isósceles y/o un punto medio, debería dedicarle una o dos tardes al dibujo geométrico elemental.)
Ya con los puntos medios trazo las medianas BN y CM y llamo G a su intersección.
Vamos a demostrar que BN=CM. Esta parte es la fácil. Porque los ángulos en la base de un isósceles son iguales y ello nos permite identificar los triángulos congruentes MBC y NCB (criterio LAL). De aquí que CM=BN.
La parte del “si” (dos medianas iguales entonces isósceles) es la más difícil.
El trazo auxiliar que aporta la perspectiva adecuada para “ver” el resultado no es obvio. Pero es clásico. Así que el aprendiz debe tomarlo como ejemplo para posibles aplicaciones posteriores.
Prolongo las medianas hasta los puntos M’ y N’ de tal manera que GM=MM’ y GN=NN’. La idea es formar congruentes opuestos por el vértice, un artificio que ya conocemos.
(Los círculos los dejé para hacer transparente la forma en que se traza con compás un segmento sobre una recta de longitud dada.)
Ocultando los círculos y mostrando sólo lo que se va a necesitar, la figura quedaría como se muestra.
Ahora trazo los segmentos M’B y N’C para formar dos pares de triángulos congruentes (según criterio LAL): M’MB y GMA, N’NC y GNA.
El hallazgo clave aquí es M’B=N’C (puesto que ambos segmentos son iguales a GA) y M’B//N’C (pues ambos son paralelos a GA, por triángulos alternos internos iguales).
Pero, “opuestos iguales y paralelos, luego paralelogramo”…
He aquí los paralelogramos: M’BCN’, M’BGA y N’CGA.
Las diagonales del paralelogramo se bisecan ¿no es cierto?
Tenemos pues que BG=GN’=2GN y CG=GM’=2GM. Ahora sólo necesitamos asegurar GM=GN.
Por hipótesis BN=CM. Es decir, 2GN+GN=BN=CM=2GM+GM. O sea, GN=GM.
Así que los paralelogramos M’BGA y N’CGA tienen sus lados correspondientemente iguales y las diagonales correspondientes GN’ y GN’ son también iguales. Por lo tanto las otras dos diagonales correspondientes BA y CA deben ser iguales. En otras palabras, el triángulo ABC es isósceles.
Se puede deducir el criterio LLL a partir del LAL aplicando las propiedades del triángulo isósceles: los triángulos en correspondencia LAL se colocan como se muestra en la figura y…
Puesto que AB=IJ y AB=IK, tenemos los isósceles ABI y ACI. Pero entonces sus ángulos en la base son iguales.
Sumando, se obtiene que los ángulos en A y en I son iguales y estamos ya en posibilidad de aplicar el criterio LAL para asegurar que los triángulos ABC e IJK son congruentes.
Digamos, para finalizar, que la noción de congruencia de triángulos está muy cerca de los fundamentos de la geometría euclidiana. Pero el aprendiz no necesita justificar todo, sobre todo los teoremas cercanos a los fundamentos: Es mejor, desde el punto de vista de solución de problemas, que tome los criterios de congruencia como axiomas y los use sin ningún remordimiento en la solución de problemas. Esto le permitirá avanzar en su apropiación de herramientas teóricas sin perder tiempo en formalismos. También como dado se debe tomar la igualdad de ángulos formados por dos paralelas y una transversal. Desde luego que es conveniente que alguna vez vea las demostraciones de los teoremas básicos, pero eso puede esperar… Mientras tanto, que resuelva problemas…
Enlaces:
[1] http://www.arrakis.es/
[2] https://www.matetam.com/../../../../../../de-consulta/books/geometria-basica-principiantes/congruencia-triangulos-como-nocion-intuitiva-y-su-f
[3] https://www.matetam.com/glosario/definicion/triangulo-obtusangulo
[4] https://www.matetam.com/glosario/definicion/triangulo-rectangulo
[5] https://www.matetam.com/glosario/definicion/triangulo-acutangulo
[6] https://www.matetam.com/glosario/definicion/triangulo-equilatero
[7] https://www.matetam.com/glosario/definicion/triangulo-isosceles
[8] https://www.matetam.com/glosario/definicion/triangulo-escaleno
[9] https://www.matetam.com/glosario/definicion/poligono
[10] https://www.matetam.com/de-consulta/books/geometria-basica-principiantes/triangulo-como-configuracion-puntos-y-rectas