Es posible calcular el área sombreada solo en funcion de R(no deben aparecer mas variables, como por ejemplo ángulos), por medio de relaciones geométricas, sin usar las funciones trigonométricas, ni integracion.
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No creo que sea posible, lo
No creo que sea posible, lo mínimo necesario sería el uso de relaciones trigonométricas. En especial por que el área es algo así como: $$\frac{R^2}{18}\left(\pi + \frac{5}{2}\arccos(\frac{3}{5})\right)$$
Pero $\arccos(5/3)$ no puede escribirse como un múltipo racional de $\pi$, entonces difícilmente podrá obtenerse su valor usando sólo construcciones geométricas (sin el empleo de relaciones trigonométricas).