El examen ciudades consistió de 13 problemas a resolver en 4 horas. Casi todos fueron elegidos por el que esto escribe del concurso primavera español (publicados en la WWW) en sus diferentes niveles --varios son para menores de 12. La clasificación que sigue en fácil, intermedio y difícil tiene en mente el sistema educativo mexicano en sus usos y costumbres. Por ejemplo, aunque los conocimientos necesarios para resolver un problema pertenezca a la secundaria, lo más seguro es que solamente se haya practicado en ejercicios de rutina. En todo caso, debe tomarse como una clasificación subjetiva --y, sin embargo informada-- de un servidor. La verdadera clasificación debería verse en la proporción de aciertos de los concursantes tamaulipecos en un problema dado.
1G DIFÍCIL. El problema plantea un reto al adolescente de 12-13 años, accesible para su nivel. Es de geometría y es difícil. Sobre todo porque requiere activar conocimientos que, aunque elementales, seguramente no los poseen los concursantes ocasionales --es decir, quienes no tuvieron ningún entrenamiento previo orientado a concursos. Requiere, en particular, conocer que el radio al punto de tangencia es perpendicular a la tangente. Además, por el método de solución, se puede considerar típico de olimpiada: requiere obtener el área de dos maneras. ¿Es mucho pedir que estos conocimientos los sepa un niño de secundaria?
2N DIFÍCIL. Se considera difícil para principiantes porque requiere modelar algebraicamente y después emprender una búsqueda exhaustiva --pero informada-- de las soluciones. Pero, para esa búsqueda, hay que razonar sobre los posibles divisores de 99 y factorizar una diferencia de cuadrados. Modelar, factorizar y buscar, son tres habilidades que deberían tener los adolescentes de secundaria, pero combinar las tres es ya más difícil. Sobre todo porque, previo a esa decisión de combinar habilidades, está el saber o intuir que el problema se resuelve mediante búsqueda exhaustiva de soluciones. Es, por ello, también un problema típico de olimpiada.
3A FÁCIL. Este problema es para menores de 12 y es clásico. En su estructura se trata de hallar tres números que sumados por pares resultan en otros tantas sumas. (La misma estructura de las Chicas Barbie, un problema recientemente pubilcado en MaTeTaM.)
4G INTERMEDIO. Un hecho geométrico básico --que debería saber cualquier adolescente-- es que los triángulos rectángulos con un ángulo de 30 grados tiene la propiedad de que la hipotenusa mide el doble que el lado opuesto al ángulo de 30. Si no se sabe ese hecho, el problema se les puede complicar y es lo que lo hace de nivel intermedio. (Fue involuntario que dos o tres problemas del concurso ciudades 2009 incluyan este conocimiento elemental que facilita la solución.)
5G DIFÏCIL. Este quizá sea el más difícil de todos los problemas del concurso ciudades. El conocimiento clave que el adolescente debe activar es el hecho de que las tangentes a la circunferencia desde un mismo punto miden lo mismo. Elemental, pero muy pocos adolescentes lo tienen. E incluso si lo tuvieran, todavía faltaría ver cómo usarlo en el problema.
6G FÄCIL. Y, sin embargo, hay que saber usar Pitágoras y razonar el problema para ver que Pitágoras es el teorema que lo resuelve en tres patadas.
7G DIFÍCIL. Es difícil sobre todo porque hay que saber extraerle toda la información al enunciado. En este caso, mediante cacería de ángulos, se llega a ver que cuatro triángulos son de la forma 30-60-90. Pero todavía faltaría ver la razón entre los lados de los dos equiláteros, lo cual es el resultado que resuelve el problema. Este es otro de los problemas que requiere saber el hecho del triángulo rectángulo con ángulo de 30.
8A FÁCIL. Se resuelve con razonamiento proporcional. Posiblemente el más fácil de todos.
9N INTERMEDIO. Requiere razonamiento sobre divisibilidad para concluir que uno de los números debe ser par y --mediante una experimentación rápida-- que solamente admite el valor 2. Lo demás es muy fácil, ya sea por búsqueda exhaustiva o factorizando y razonando por inspección que solamente puede haber una solución. (Una de las dificultades es que el enunciado puede llegar a ser muy intimidante para el principiante --y tan solo por esa razón debe clasificarse como típico de concurso.)
10A DIFÍCIL. Aunque la división de polinomios se enseña en la secundaria, lo más seguro es que esa habilidad no se haya practicado en problemas en los que haya que decidir que ese es el método de solución. Por esa razón se consideraría uno de los problemas más difíciles del examen.
11N INTERMEDIO. En cierta forma es parecido al 10 pero con números. Se considera intermedio (a pesar de ser fácil) porque lo más seguro que la habilidad de obtener el residuo en la división entera nunca haya sido probada en la práctica con problemas que requieren ese conocimiento, pero en los cuales haya que decidir que ese es el conocimiento clave a activar. Es decir, en este problema --como en ningún verdadero problema-- no se les dice a los concursantes "utiliza el método X para resolver"
12G DIFÍCIL. En todos los problemas del concurso ciudades el cognizador está obligado a inferir información adicional a partir de los datos en el enunciado. Y este solo hecho es ya una dificultad que la mayoría de los adolescentes encuentran insalvable. (Es parte del contrato didáctico vigente en el sistema educativo mexicano.) Este problema utiliza el concepto de semejanza desde el enunciado. Si el concursante preguntó al jurado, la respuesta bastaba para resolverlo (seguramente le dijeron "sus ángulos correspondientes son iguales" o algo así). Pero también en este problema se necesitaba saber
que en los triángulos rectángulos con ángulo de 30 su hipotenusa es el doble que uno de los lados. Después había que aplicar Pitágoras. Otra vez, tres conocimientos y/o habilidades que deben activarse en el momento del examen hace de este problema al alcance solamente de los más dotados.
13C DIFÍCIL. Es difícil solamente por el hecho de que el cognizador seguramente no sabe el método de separadores. Y el problema no puede resolverse por fuerza bruta dentro del tiempo del examen. Por lo demás, si usara un método de búsqueda exhaustiva, lo más difícil es organizar los cálculos para asegurarse de que no faltan ni sobran soluciones.
En resumen, según el criterio de la delegación, el examen consistió de 3 fáciles, 3 intermedios y 7 difíciles (distribuidos en 1 de combinatoria, 3 de álgebra, 3 de números y 6 de geometría). Se esperarba que la mayoría resolverían entre 3 y 6 problemas. Sorprende, sin embargo, que un niño del Instituto Cultural Tampico (secundaria) haya obtenido el equivalente a 7 y medio problemas (recordemos que en concursos se le pueden sacar puntos al problema aun cuando no se haya resuelto totalmente).
(Los resultados de Tampico-Madero son consistentes con mi predicción: el máximo puntaje fue de 7.5 y el mínimo de 3.3 --para los 53 adolescentes que quedaron seleccionados). Sorprende también que, dentro de esos 53 seleccionados, 13 sean estudiantes de secundaria. (Posible efecto perverso del sistema: entre más permaneces en él menos le entiendes a las matemáticas.)
Los saluda
jmd
PD: Enseguida está el examen en doc y las selecciones que me han reportado (bájatelos a disco primero).
| Adjunto | Descripción | Tamaño | |
|---|---|---|---|
 | ciudades2009.doc [1] | ciudades2009.doc | 42.5 KB |
| Seleccion_Tampico-Madero.doc [2] | Seleccion_Tampico-Madero.doc | 353 KB |
| Seleccion_Soto.doc [3] | Seleccion_Soto.doc | 865.5 KB |
| Seleccion_Matamoros.doc [4] | Seleccion_Matamoros.doc | 41 KB |