El fin de semana (8,9 y 10 de agosto) se llevó a cabo el primer entrenamiento de la preselección OMM Tamaulipas 2014 y se realizó el primer examen selectivo, el cual reproduzco a continuación.
El entrenamiento estuvo a cargo de Luis Camilo Castillo Toledano (las gracias le sean dadas) y el tema fue teoría de números.
Problema 1. Sean $m,n$ enteros positivos tales que $m^2+n^2$ es múltiplo de 3. Pruebe que $m$ y $n$ son también múltiplos de 3.
Problema 2. Encontrar todos los números primos $p,q$ tales que su suma y su diferencia también son números primos.
Problema 3. Pruebe que $2222^{5555}+5555^{2222}$ es múltiplo de 7.
Problema 4. Determinar si $1001^n-13^n-77^n+1$ es divisible entre 912.
Problema 5. Encontrar todos los números primos $p,q$ tales que $p+1$ es un cuadrado perfecto y $q+1$ es un cubo perfecto.
Problema 6. Sean $x,y$ enteros positivos. Determinar cuántas parejas $(x,y)$ cumplen que $x^2 y^3=6^{12}$.
Sugerencias
1. Demostrar la contrapositiva: si uno de los enteros positivos $m,n$ no es múltiplo de 3 entonces la suma de sus cuadrados no es múltiplo de 3.
2. Argumentar primero que alguno de los primos $p,q$ tiene que ser 2.
3. Trabajar en módulo 7 la expresión.
4. Trabajar la expresión en módulo 3, 16 y 19.
5. Modela, factoriza y concluye.
6. Cambio de variables para homogeneizar.
Los saluda
Hola, Quiero colaborar con [1]
Hola,
Quiero colaborar con una solucion distinta para el problema 4, la expresión se factoriza $(77^n -1)(13^n-1)$ luego un parentesis es divisible por $76$ para toda $n$, y el otro por $12$ para toda $ n.$ En consecuencia la expresión es divisible por $76\times12= 912. $
Profe Muñoz sabe si ¿hay resultados de este selectivo?
Saludos.
¡OOh! Muy buena. ¿Cómo fue
¡OOh! Muy buena. ¿Cómo fue que viste esa factorización? Si pudieras explicar eso sería muy útil para los lectores de MaTeTaM.
Pues resultados no hay. Posiblemente para la semana que entra estén...
Te saluda
Se debe tener presente la
Se debe tener presente la factorizacion en primos de 1001, y observar que se tienen factores en común con los otros terminos. De esta manera podemos reescribir nuestra ecuacion como $ 77^n13^n - 13^n - 77^n + 1$ de aqui se aplican dos veces la factorizacion por termino común. Quedaria asi la primera vez (y observando los signos):
$ 13^n(77^n - 1) - (77^n - 1)$ para finalmente obtener la factorizacion $(13^n-1)(77^n -1)$
Saludos
Germán.
Hola, También les quiero [2]
Hola,
También les quiero compatir una solución distinta al problema 3.
Recordemos que $a+b$ divide a $a^n + b^n$ si $n$ es impar. De este modo nuestra expresión es divisible por $2222^5 + 5555^2$ , y demuestro que esto es divisible por 7, reescribiendola como $(22219 + 3)^5 + (5551 + 4)^2$ pero observando que cada termino en la expansión de ambos parentesis contienen multiplos de 7, a excepcion de $3^5$ y $4^2$ por lo cual nuestra demostración termina en demostrar que $ 7 | 3^5 + 4^2 = 243 + 16 = 259 = 7\times 37 $ y acabamos.
Saludos.
Muy buena. No cabe duda que
Muy buena. No cabe duda que eres muy competente en álgebra. Gracias Germán, tu colaboración es muy valiosa. (Me gustaría ver tu solución del 6 --con ese tuve que pedir la ayuda de Jesús...)
Te saluda
Gracias. Pues para el 6 solo
Gracias. Pues para el 6 solo hay que ver que un cubo por un cuadrado es una potencia sexta solo si ambos son potencias sextas de alli podemos reescribir $x^2$ y $y^3$ como $2^a3^b$ y $2^c3^d$ , luego 6 divide a $a,b,c,d$ de alli 12 debe ser escrito como suma de multiplos de 6, entonces hay tres maneras de elegir los superindices del 2: $ (0,12) , (12,0) , (6,6)$ y de la misma manera para los superindices del tres. Luego cada uno puede ser elegido de tres maneras por lo que hay nueve parejas en total.
Saludos.