Básicamente hemos concluido con el capitulo 4. Hemos visto la prueba de que en $PG(2,\mathbb{F})$ es válido el teorema de Papus. Para ello usamos las homografías, que son un tipo de colinealización.
Este Lunes 19 de Marzo (hoy), vimos el concepto de colinealización automórficas y demostramos que en $PG(2,\mathbb{F})$ toda colinealización que deja fijo el cuadrángulo fundamenal (el de los puntos X(1,0,0), Y(0,1,0), Z(0,0,1) y U(1,1,1)) debe ser una colinealización automórficas.
Respecto a la colinealización automórficas,
La definición es tal cual viene en el libro:
Definición. Dado un automorfismo $\alpha$ de $\mathbb{F}$ (isomorfimos en si mismo), se puede definir una transformación $$\sigma: PG(2,\mathbb{F}) \to PG(2,\mathbb{F})$$
de tal manera que $(x,y,z)$ es enviado a $(\alpha(x), \alpha(y), \alpha(z))$. La transformación $\sigma$ resulta ser una colinealización como se probó en clase. A una transformación así construida se le llama colinealización automórfica.
Ahora bien, uno de los conceptos que abordamos para una mejor comprensión de este tema es el de automorfismo de campos.
Definición. Un automorfismo de un campo $\mathbb{F}$, es una función biyectiva $\alpha: \mathbb{F} \to \mathbb{F}$ tal que:
- $\alpha(a+b) = \alpha(a) + \alpha(b)$
- $\alpha(ab) = \alpha(a) \alpha(b)$
No es muy dificil probar a partir de esta definición que $\alpha(0)=0$, $\alpha(1)=1$ y que $\alpha(a^{-1})=\alpha(a)^{-1}$. Les queda como ejercicio.
Una de las preguntas naturales respecto a los automorfismo es si existirán automorfismos distintos de la función identidad.
Para ello estudiemos los siguientes casos:
El caso de los racionales.
Consideremos un automorfismo $\phi: \mathbb{Q} \to \mathbb{Q}$ y es fácil ver que;
- $\phi(2) = \phi(1) +\phi(1) = 1+1=2$
- $\phi(3) = \phi(2) +\phi(1) = 2+1=3$
- ...
- $\phi(n) = n$ para todo entero $n \in \mathbb{Q}$
Luego, como $1/m = m^{-1}$ se observa que para todo entero $m \neq 0$ se tiene que: $$\phi(\frac{1}{m}) = \frac{1}{m}$$.
Y por último: $$\phi(\frac{n}{m}) = \phi(n \cdot \frac{1}{m}) =\phi(n)\cdot \phi(\frac{1}{m}) = \frac{n}{m} $$
Bueno, de aquí se sigue de inmediato que $\phi$ es la función indentidad en $\mathbb{Q}$.
Por lo tanto, en los números racionales, la identidad es el único automorfismo.
El caso de los reales.
Este caso no lo pudimos concluir en clase, pero camino a casa lo pude terminar.
Consideremos $\varphi: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ un automorfismo. Nuevamente se puede probar que $\varphi(n/m) = n/m$ para cualesquiera enteros $n$ y $m$ con $m \neq 0$. Es decir, los racionales quedan fijos bajo cualquier automorfismo de $\mathbb{R}$.
Por otro lado, para cualquier número positivo $a > 0$ existe un número $ b $ tal que $a = b^2$, por lo tanto, $\varphi(a) = \varphi(b \cdot b) = \varphi(b) \cdot \varphi(b) = \varphi(b)^2 >0$, no puede ser igual a cero pues por la biyectividad implicaría que $a$ es cero. En consecuencia, hemos demostrado que para $a > 0$ se tiene que $\varphi(a)>0$.
De manera más general, supongamos que $a > b$, entonces $a -b > 0$, por lo tanto $\varphi(a-b) >0$. Pero como $\varphi$ es automorfismo se tiene que $\varphi(a-b) = \varphi(a)- \varphi(b)$, se concluye que $\varphi(a) > \varphi(b)$. Por lo tanto, $\varphi$ es creciente.
Ahora bien, consideremos $\xi \in \mathbb{R}$ un número real cualquiera. Sabemos que exite una sucesión $r_i$ de racionales que converge a $\xi$, pero más aun, podemos construir dos sucesiones $r_i$ y $r'_i$ de números racionales que convergen a $\xi$ pero de tal manera que $r_i \geq \xi \geq r'_i$ para todo $i$. Como $\varphi$ es creciente conserva las desigualdades y como deja fijo los racionales se tendrá que:
$$r_i \geq \varphi(\xi) \geq r'_i$$
Tomando límites se concluye que $\varphi(\xi) = \xi$ para todo $\xi \in \mathbb{R}$. Es decir, la identidad es el único automorfismo de $\mathbb{R}$.
Los racionales extendidos con raíz de 2
Pues hasta el momento pareciera que no hay automorfirmos de $\mathbb{F}$ distintos de la identidad. Pero con el siguiente ejemplo podremos ver que sí puede haber.
Consideremos $\mathbb{Q}(\sqrt{2}) =\{ a+b\sqrt{2} | a,b \in \mathbb{Q} \} \subset \mathbb{R}$. Este subconjunto de números de $\mathbb{R}$ es un campo y no es muy dificil de probarlo. Basta con probar que el producto y la suma de dos elementos es nuevamente un elemento de el mismo, y además de que hay inversos. Para esas pruebas sólo bastan las siguientes identidades:
- $(a+b\sqrt{2}) + (a'+b'\sqrt{2}) = (a+a')+(b+b')\sqrt{2}$
- $(a+b\sqrt{2})(a'+b'\sqrt{2}) = (aa' +2bb')+(ab'+ a'b)\sqrt{2}$
- $(a+b\sqrt{2})^{-1} = (a-b\sqrt{2})/(a^2 - 2b^2)$
Bueno, pues en este campo la función conjugación $\sigma(a+b\sqrt{2}) = a-b\sqrt{2}$ resulta ser un automorfismo de $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$. ¡Pruébalo!
Este es un automorfismo no trivial.
Saludos