Problemas

Estos son los problemas que llevamos hechos!

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Cuadrado perfecto de cuatro cifras Básico, Números

Sea $ m $ un cuadrado perfecto de cuatro cifras menores que 9. Sumando una unidad a cada una de las cifras de $ m $ se forma otro cuadrado perfecto. Encontrar $ m $.

 25/08/2010 - 17:33
Medida de un ángulo: elemental pero... Intermedio, Geometría

Los ángulos en la base $ BC $ del isósceles $ ABC $ miden 40 grados. El lado $ AB $ se prolonga hasta el punto $ D $ de manera que $ B $ quede entre $ A $ y $ D $ y $ AD=BC $. ¿Cuánto mide el ángulo $ BCD $?

 24/08/2010 - 11:08
Suma de potencias múltiplo de 7 Álgebra, Intermedio

Demostrar que para $ n $ entero no negativo, la función $ f(n)=4^{2^n}+2^{2^n}+1 $ es múltiplo de 7.

 16/08/2010 - 18:05
Puntos medios, líneas medias e isósceles rectángulos Intermedio, Geometría

Sean $ D,E $ puntos en el exterior del triángulo $ ABC $ tales que los triángulos $ ABD $ y $ ACE $ son isósceles rectángulos en $ D $ y $ E $, respectivamente. Demostrar que si $ F $ es punto medio de $ BC $, entonces el triángulo $ DEF $ es isósceles rectángulo en $ F $

 15/08/2010 - 08:50
Circuncírculo de equilátero Intermedio, Geometría

Sea $ M $ un punto en el arco $ AB $ del circuncírculo del triángulo equilátero $ ABC $. Demostrar que $ AM+MB=MC $.

 15/08/2010 - 07:44
Triángulo dividible Avanzado, Geometría

En un triángulo isósceles $ ABC $, con $ AB=AC $ y ángulo en A de 20 grados, los puntos $ D $ en $ AC $ y $ E $ en $ AB $ son tales que $ \angle{DBC}=60 $ y $ \angle{ECB}=50 $. Encontrar, con prueba, la medida del $ \angle{EDB} $

 14/08/2010 - 06:53
La factorización prima es única Intermedio, Números

Encontrar todos los pares $ (x,y) $ de enteros que satisfacen la ecuación $ 2^x+1=y^2 $

 13/08/2010 - 17:36
Coeficientes de una expresión cuártica Álgebra, Básico

Calcular el valor de la expresión $ (a_0+a_2+a_4)^2-(a_1+a_3)^2 $, donde los $ a_i $ son los coeficientes de la expansión de  $ (2x+\sqrt{3})^4 $:

$$(2x+\sqrt{3})^4=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4$$

 

 13/08/2010 - 10:56
Función convexa aplicada a un promedio Álgebra, Avanzado

Sea $ f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} $ una función punto medio convexa, es decir, que satisface que:

$$f\left( \frac{x+y}{2} \right) \leq \frac{f(x)+f(y)}{2} $$
para toda pareja de números reales  $ x,y \in \mathbb{R} $.

Demostrar que para cualesquiera números reales $ a_1, a_2, \ldots, a_n $ se satisface la siguiente desigualdad:

\[ f \left(\frac{a_1+a_2+ \cdots +a_n}{n} \right) \leq \frac{f(a_1)+f(a_2)+\cdots +f(a_n)}{n}. \](1)

 12/08/2010 - 10:44
No todos los triángulos son isósceles Básico, Geometría

Demostrar que, en un triángulo ABC, la bisectriz del ángulo A y la mediatriz del lado BC concurren en el circuncírculo de ABC.

 10/08/2010 - 18:25