Problemas

Esta es nuestra colección de problemas. Los hemos clasificados por tema, dificultad y tipo de concurso. No dudes en escribir comentarios con tus soluciones o con cualquier duda sobre el problema.
También puedes compartirnos alguno de tus problemas favoritos:
Problema

Suma de cualesquiera dos consecutivos, cuadrado

Enviado por German Puga el 18 de Abril de 2015 - 20:05.

Determina si existe una sucesión infinita $a_1,a_2,\dots$ de enteros positivos que satisface la igualdad $$a_{n+2} = a_{n+1} + \sqrt{a_{n+1} + a_n}$$ para todo entero positivo n.

Problema

Máximo común divisor menor a n

Enviado por German Puga el 18 de Abril de 2015 - 19:48.

Sean m enteros mayores a 1, y sean $a_1,a_2,\dots,a_m$ enteros positivos menores o iguales a $n^m$. Demuestra que existen enteros positivos $b_1,b_2,\dots,b_m$ menores o iguales a n, tales que $$ mcd( a_1+b_1,a_2+b_2,\dots,a_m+b_m) < n,$$ donde $mcd(x_1,x_2,\dots,x_m)$ denota el máximo común divisor de $x_1,x_2,\dots,x_m$.

Problema

Fichas de dominó en un tablero de ajedrez

Enviado por German Puga el 18 de Abril de 2015 - 19:29.

Una ficha de dominó es de $2\times 1$ o de $1\times 2$ cuadrados unitarios. Determina de cuántas maneras distintas se pueden acomodar exactamente $n^2$ fichas de dominó en un tablero de ajedrez de tamaño $2n\times 2n$ de forma que cualquier cuadrado de $2\times 2$ contiene al menos dos cuadrados unitarios sin cubrir que están en la misma fila o en la misma columna.

Problema

El primero de la EGMO

Enviado por German Puga el 18 de Abril de 2015 - 19:18.

Sea $\triangle ABC$ un triángulo acutángulo, y sea $D$ el pie de la altura trazada desde $C$. La bisectriz de $\angle ABC$ intersecta a $CD$ en $E$ y vuelve a intersectar al circuncírculo $\omega$ de $\triangle ADE$ en $F$. Si $\angle ADF = 45°$, muestra que $CF$ es tangente a $\omega$.

Problema

Trapecio Isósceles circunscrito a una circunferencia

Enviado por Poronga108 el 21 de Febrero de 2015 - 18:32.

Un trapecio Isósceles ABCD esta circunscrito a una circunferencia, sus bases miden 4mts y 9mts. Hallar el área del trapecio.

 

Problema

Mediatrices que pasan por un punto fijo

Enviado por German Puga el 22 de Noviembre de 2014 - 20:43.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y $P,Q$ puntos sobre $AB$ y $AC$ respectivamente, tal que $AP = CQ$. Demostrar que la mediatriz de $PQ$ pasa por un punto fijo al variar $P$.

Problema

XXVIII OMM Problema 6

Enviado por vmp el 11 de Noviembre de 2014 - 11:07.

Para cada entero positivo $n$, sea $d(n)$ la cantidad de divisores positivos de $n$. Por ejemplo, los divisores positivos de 6 son 1, 2, 3 y 6, por lo que $d(6)=4$.
Encuentra todos los enteros positivos $n$ tales que
$$n+d(n)=d(n)^2$$.
 

Problema

XXVIII OMM Problema 5

Enviado por vmp el 11 de Noviembre de 2014 - 10:46.

Sean $a$, $b$ y $c$ números reales positivos tales que $a+b+c=3$. Muestra que $$\frac{a^2}{a+\sqrt[3]{bc}}+\frac{b^2}{b+\sqrt[3]{ca}}+\frac{c^2}{c+\sqrt[3]{ab}} \geq \frac{3}{2}$$.

Problema

XXVIII OMM Problema 4

Enviado por vmp el 11 de Noviembre de 2014 - 10:36.

Sea $ABCD$ un rectángulo con diagonales $AC$ y $BD$. Sean $E$ el punto de intersección de la bisectriz del ángulo $\angle CAD$ con el segmento $CD$, $F$ el punto sobre el segmento $CD$ tal que $E$ es el punto medio de $DF$ y $G$ el punto sobre la recta $BC$ tal que $BG=AC$ (con $C$ entre $B$ y $G$).

Muestra que la circunferencia que pasa por $D$, $F$ y $G$ es tangente a $BG$.

Problema

XXVIII OMM Problema 3

Enviado por vmp el 10 de Noviembre de 2014 - 17:16.

Sean $\Gamma_{1}$ una circunferencia y $P$ un punto fuera de $\Gamma_{1}$. Las tangentes desde $P$ a $\Gamma_{1}$ tocan la circunferencia en los puntos $A$ y $B$. Considera $M$ el punto medio del segmento $PA$ y $\Gamma_{2}$ la circunferencia que pasa por los puntos $P$, $A$ y $B$. La recta $BM$ interesecta de nuevo a $\Gamma_{2}$ en el punto $C$, la recta $CA$ intersecta de nuevo a $\Gamma_{1}$ en el punto $D$, el segmento $DB$ intersecta de nuevo a $\Gamma_{2}$ en el punto $E$ y la recta $PE$ intersecta a $\Gamma_{1}$ en el punto F (con E entre P y F). Muestra que las rectas $AF$, $BP$ y $CE$ concurren.

Problema

Reducción de números

Enviado por vmp el 10 de Noviembre de 2014 - 17:09.

Un entero positivo $a$ se reduce a un entero positivo $b$, si al dividir $a$ entre su dígito de las unidades se obtiene $b$. Por ejemplo, 2015 se reduce a $\frac{2015}{5}=403$. Encuentra todos los enteros positivos que, mediante algunas reducciones, llegan al número 1. Por ejemplo, el número 12 es uno de tales enteros pues 12 se reduce a 6 y 6 se reduce a 1.

Problema

Coloración en números del 1 al 4027

Enviado por vmp el 10 de Noviembre de 2014 - 16:58.

Cada uno de los números del 1 al 4027 se ha coloreado de verde o de rojo. Cambiar el color de un número es pasarlo a verde si era rojo, y pasarlo a rojo si era verde.
Diremos que dos enteros positivos $m$ y $n$ son cuates si alguno de los números $\frac{m}{n}$ o $\frac{n}{m}$ es un número primo. Un paso consiste en elegir dos números que sean cuates y cambiar el color de cada uno de los números.
Muestra que después de realizar algunos pasos es posible hacer que todos los números del 1 al 2014 sean verdes.

Problema

Focos distribuidos en una circunferencia (P1)

Enviado por jesus el 26 de Septiembre de 2014 - 10:20.

Se tienen 25 focos distribuidos de la siguiente manera: los primeros 24 se disponen en una circunferencia colocando un foco en cada uno de los vértices de un 24-ágono regular, y el foco restante se coloca en el centro de dicha circunferencia. Se permite aplicar cualquiera de las siguientes dos operaciones:

Problema

Modelación de problemas. Cálculo diferencial e integral I.

Enviado por Annie White el 20 de Septiembre de 2014 - 19:55.

1. Se desea cercar un terreno de 2000m2, expresa una ecuación que defina la cantidad de cerco en función de su lado de mayor longitud. Nota: Es un terreno rectangular.

2. Expresa el área de una caja con base cuadrangular si tiene un volumen de 16m2 expresala en función de la longitud de su altura.

3.Se desea construir un cilindro de 40 cm3, expresa el área del cilindro en función de su radio.

Problema

Relaciones combinatorias

Enviado por jmd el 3 de Septiembre de 2014 - 18:53.

Sean $r,n$ enteros no negativos tales que $r\leq{n}$.

a) Demostrar que $$\frac{n+1-2r}{n+1-r}C(n,r)$$ es un entero.

b) Demostrar que

$$ \sum_{r=0}^{\lfloor n/2\rfloor}\frac{n+1-2r}{n+1-r}C(n.r)<2^{n-2}$$ para todo $n\geq 9$.
(Nota: $\lfloor x\rfloor$ es el mayor entero menor o igual que x, y $C(n,r)$ es el número de subconjuntos de tamaño r tomados de un conjunto de tamaño n.) 

Problema

Viaje redondo

Enviado por jmd el 3 de Septiembre de 2014 - 14:20.

Air Michael y Air Patrick operan vuelos directos que conectan Belfast, Cork, Dublin, Galway, Limerick y Waterford. Para cada par de ciudades exactamente una de las aerolíneas opera la ruta (en ambos sentidos) conectando las ciudades.Demostrar que hay cuatro ciudades para las cuales una de las aerolíneas opera un viaje redondo. (Un viaje redondo para las ciudades P,Q,R,S es un viaje que va de P a Q, de Q a R, de R a S y de S a P.)

Problema

Senos cuadráticos

Enviado por jmd el 3 de Septiembre de 2014 - 12:52.
Demostrar que un triángulo ABC es rectángulo si y sólo si 
$$\sin^2A+\sin^2B+\sin^2C=2$$
Problema

Todos los primos tales que...

Enviado por jmd el 3 de Septiembre de 2014 - 12:49.

Encontrar todos los números primos $p,q$ tales que $p$ divide a $q+6$ y $q$ divide a $p+7$.

Problema

Una recta variable que pasa por un punto fijo

Enviado por jmd el 3 de Septiembre de 2014 - 12:40.

El punto P está fijo en una circunferencia y el punto Q está fijo en una recta. Un punto variable R se mueve sobre la circunferencia pero sin alinearse con P y Q. La circunferencia por P,Q y R corta a la recta de nuevo en V. Demostrar que la recta VR pasa por un punto fijo.

Problema

Líneas isogonales y circunferencias con centro en los lados.

Enviado por jesus el 26 de Julio de 2014 - 09:17.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico convexo. Sea $H$ un punto sobre $BD$ tal que $AH$ y $AC$ son líneas isogonales (reflejadas en la bisectriz del ángulo en $A$).

Consideremos $\mathcal{C}_B$ y $\mathcal{C}_D$ las circunferencias con cuerda $HC$ y con sus respectivos centros en $AB$ y $AD$.

Llamemos $S$ y $P$ a la intersección de $\mathcal{C}_B$ con la recta $AB$; el vértice $A$ más cerca de $S$ que de $P$. Análogamente llamemos $T$ y $Q$ a la intersección de $\mathcal{C}_D$ con la recta $AD$; el vértice $A$ más cerca de $T$ que de $Q$. Entonces se satisfacen las siguiente propiedades