Problemas

Esta es nuestra colección de problemas. Los hemos clasificados por tema, dificultad y tipo de concurso. No dudes en escribir comentarios con tus soluciones o con cualquier duda sobre el problema.
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Problema

Uno sencillo de conteo

En la siguiente puntícula de $11\times11$ se van a formar triángulos isósceles de  tal manera que su lado desigual esté sobre las líneas rosas. ¿Cuántos triángulos isoósceles se pueden formar?

 

 
Problema

Escalinata

Sea $\triangle ABC$ un trinagulo isósceles con $AC=CB, AB=7$ y altura $CD=9$. Los segmentos $a,b,c,d,e,f,g,h$ e $i$ son paralelos a $AB$ y dividen a $CD$ en $9$ segmentos iguales.

Encuentra $a+b+c+d+e+f+i$

 
Problema

El extraño caso del hexágono azul

En un cuadrado $ABCD$ de lado $60$. $E,F,G$ y $H$ son puntos medios de $AB,BC;CD$ y $DA$, respectivamente. Encuentra el área del hexágono $IJKLMN$.

 
Problema

¿Cuántos soluciones serán?

Encuentra todos los enteros no negativos $a$ y $b$ que satisfacen la ecuación $3\cdot 2^a+1=b^2.$

 
Problema

Ni primo ni cuadrado

Muestra que el número $5n+3$ no es un cuadrado perfecto, con n entero positivo y que si $2n+1$ y $3n+1$ son ambos cuadrados, entonces $5n+3$ no es primo.

 
Problema

Elemental de álgebra

Si $a^2 + a = 2b^2 + b = 50a - 49b$ ¿Cuanto es a+b?

 
Problema

Expresado como producto de tres

Sea $p_1 , p_2 , p_3 \dots$   la sucesión de números primos ordenados de menor a mayor. Si $n \geq 2$, demuestra que $p_n + p_{n+1}$ se puede expresar como el producto de al menos tres enteros mayores que 1 (no necesariamente distintos). 

 
Problema

La magia de los números primos

Sean $a,b,c,d$ enteros positivos que satisfacen $ ab = cd$ . Muestra que $a+b+c+d$ no es un número primo.

 
Problema

Muchos 1's

Muestra que para todo entero positivo n, primo relativo con 10 existen infinidad de múltiplos de n cuyos dígitos son solo unos. 

 
Problema

Problema de Teoría de Números

Resolver la ecuación $x^{3}=3^{y}7^{z}+8$ para enteros positivos $x, y, z$.