Problemas

Esta es nuestra colección de problemas. Los hemos clasificados por tema, dificultad y tipo de concurso. No dudes en escribir comentarios con tus soluciones o con cualquier duda sobre el problema.
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Problema

Problema 6. 29a Olimpiada Mexicana de Matemáticas

Sea $n$ un entero positivo y sean $d_1,d_2, \ldots , d_k$ todos sus divisores positivos ordenados de menor a mayor. Considera el número $$f(n)=(-1)^{d_1}d_1+(-1)^{d_2}d_2+\ldots+(-1)^{d_k}d_k.$$
Por ejemplo, los divisores positivos de 10 son $1,2,5$ y $10$, así que $$f(10)=(-1)^{1}\cdot 1+(-1)^{2}\cdot 2+ (-1)^{5}\cdot 5 +(-1)^{10}\cdot 10=6.$$
Supón que $f(n)$ es una potencia de $2$. Muestra que si $m$ es un entero mayor que $1$, entonces $m^2$ no divide a $n$.
 
 
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Problema 5. 29a Olimpiada Mexicana de Matemáticas

Sea $I$ el incentro de un triángulo acutángulo $ABC$. La recta $AI$ corta por segunda vez al circuncírculo del triángulo $BIC$ en $E$. Sean $D$ el pie de la altura desde $A$ sobre $BC$ y $J$ la reflexión de $I$ con respecto a $BC$. Muestra que los puntos $D$, $J$ y $E$ son colineales.

 

 

 
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Problema 4. 29a Olimpiada Mexicana de Matemáticas

Sea $n$ un entero positivo. María escribe en un pizarrón las $n^3$ ternas que se pueden formar tomando tres enteros, no necesariamente distintos, entre $1$ y $n$, incluyéndolos. Después, para cada una de las ternas, María detetermina el mayor (o los mayores, en caso de que haya más de uno) y borra los demás. Por ejemplo, en la terna $(1,3,4)$ borrará los números $1$ y $3$, mientras que en la terna $(1,2,2)$ borrará sólo el número $1$.
 
Muestra que, al terminar este proceso, la cantidad de números que quedan escritos en el pizarrón no puede ser igual al cuadrado de un número entero.
 
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Problema 3. 29a Olimpiada Mexicana de Matemáticas

Sea $\mathbb{N}=\{1, 2, 3, \ldots \}$ el conjunto de los números enteros positivos. Sea $f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ una función, la cual asigna a cada número entero positivo, un número entero positivo. Supón que $f$ satisface las siguientes condiciones:
  1. $f(1)=1$
  2. Para todos $a,b$ enteros positivos, se cumple que
    $$f(a+b+ab)=a+b+f(ab)$$
  3. .
Encuenta el valor de $f(2015)$
 
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Problema 2. 29a Olimpiada Mexicana de Matemáticas

Sean $n$ un entero positivo y $k$ un entero entre $1$ y $n$. Se tiene un tablero de $n \times n$ color blanco. Se hace el siguiente proceso. Se dibujan $k$ rectángulos con lados de longitud entera, con lados paralelos a los del tablero y tales que su esquina superior derecha coincide con la del tablero. Luego, estos $k$ rectángulos se rellenan de negro. Esto deja una figura blanca en el tablero. ¿Cuántas figuras blancas diferentes podemos obtener, que no se puedan obtener haciendo el proceso con menos de $k$ rectángulos?

 
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Problema 1. 29a Olimpiada Mexicana de Matemáticas

Sea $ABC$ un triángulo y sea $H$ su ortocentro. Sea $PQ$ un segmento que pasa por $H$ con $P$ en $AB$, $Q$ en $AC$ y tal que $\angle PHB=\angle CHQ$. Finalmente en el ciruncírculo del triángulo $ABC$ considera $M$ el punto medio del arco $BC$ que no contiene a $A$. Muestra que $MP=MQ$.

 
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Problema 4(C)

En una circunferencia se marcan 60 puntos, de los cuales 30 se colorean de rojo, 20 de azul y 10 de verde. La circunferencia queda así dividida en 60 arcos y a cada uno de ellos se les asigna un número de acuerdo a la siguiente regla:

--1 si une un punto rojo con uno verde
--2 si une un punto rojo con uno azul
--3 si une un punto azul con uno verde
--0 si une dos puntos del mismo color

¿Cuál es la mayor suma posible de los números asignados a los arcos? (Justifica tu respuesta.)

 
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Problema 3(G)

Sea $ABC$ un triángulo con $AB\neq{AC}$. Sean $H$ su ortocentro, $O$ su circuncentro y $D$ el punto medio de $BC$. Sea $P$ la intersección de $AO$ y $HD$. Demostrar que los triángulos $AHP$ y $ABC$ tienen el mismo baricentro.
 
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Problema 2(N)

Para un entero positivo n denotamos con S(n) la suma de los dígitos y con U(n) el dígito de las unidades. Determinar todos los enteros positivos n con la propiedad de que n=S(n)+U(n)2  (Nota: Para n=324, S(n)=9 y U(n)=4.)

 
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Problema 1(A)

Calcula el valor de n que cumpla la siguiente ecuación: $$\frac{1+3+5+...+2n-1}{2+4+6+...+2n} = \frac{2014}{2015}$$