Problemas - Teoría de números

Problema

5.- Borrando divisores de un pizarrón

Enviado por Samuel Elias el 21 de Noviembre de 2022 - 13:42.

Sea $n > 1$ un entero positivo y sean $d_1 < d_2 < ... < d_m$ sus $m$ enteros positivos de manera que $d_1 = 1$ y $d_m = n$. Lalo escribe los siguientes $2m$ números en un pizarrón:

$d_1 , d_2 , ... , d_m , d_1 + d_2 , d_2 + d_3 , ... , d_{m-1} + d_m , N$

donde $N$ es un entero positivo. Después Lalo borra los números repetidos (por ejemplo, si un número repetido aparece 2 veces, el borrará uno de los dos). Después de esto, Lalo nota que los números en el pizarrón son precisamente la lista completa de divisores positivos de $N$. Encuentra todos los posibles valores del entero positivo $n$.

Problema

3.- Orquesta Matemática

Enviado por jesus el 18 de Noviembre de 2022 - 10:52.

Sea $n>1$ un entero y sea $d_1 < d_2 < \dots < d_m$ la lista completa de sus divisiores positivos, incluidos $1$ y $n$. Los $m$ instrumentos de una orquesta matemática se disponen a tocar una pieza musical de $m$ segundos, donde el instrumento $i$ tocará una nota de tono $d_i$ durante $s_i$ segundos (no necesariamente consecutivos), donde $d_i$ y $s_i$ son enteros positivos. Decimos que esta pieza tiene sonoridad $S = s_1 + s_2 + \cdots + s_m $.

Problema

1.- Números Tlahuicas

Enviado por Samuel Elias el 12 de Noviembre de 2022 - 21:31.

Un número $x$ es Tlahuica si existen números primos distintos $p_1, p_2 \dots, p_k$ tales que

$$x= \frac{1}{p_1} + \frac{1}{p_2} + ... + \frac{1}{p_k}$$

Determina el mayor número Tlahuica que satisface las dos propiedades siguientes:

  1. 0 < < 1
  2. existe un número entero $0 < m \leq 2022$ tal que $mx$ es un entero.

Problema

Sin miedo al factorial

Enviado por Samuel Elias el 24 de Octubre de 2022 - 07:53.

Determina el menor entero positivo n tal que para todo entero positivo u se cumple que  n + u!  sea un número de al menos 4 divisores

Problema

Múltiplos de 9 con restricciones

Enviado por Samuel Elias el 24 de Octubre de 2022 - 07:37.

¿Cuántos múltiplos de 9 menores que 1000 no usan ningún digito menor que 3?

Problema

Problema 5 Estatal 2022

Enviado por Samuel Elias el 23 de Octubre de 2022 - 17:21.

Encuentra todas las parejas de enteros positivos (x,n) tales que:

(3)(2x) + 4 = n2

Problema

El 3 del estatal 2022

Enviado por Samuel Elias el 23 de Octubre de 2022 - 17:15.

Encuentra todos los valores para de tal forma que la expresión 

6n+1

sea un número con todos sus dígitos iguales.
 

Problema

El número de Belmaris

Enviado por Samuel Elias el 23 de Octubre de 2022 - 16:50.

André, Belmaris, Claudia, Daniel, Elmer y Germán van a jugar a decir números en ese orden. André y Belmaris podrán elegir sus números, pero los siguientes deben decir el resultado de la multiplicación de los números que dijeron las dos personas antes que ellos, sin equivocarse. Si André dijo "2" y Germán dijo "6 075 000" (seis millones setenta y cinco mil), ¿qué numero dijo Belmaris?

Problema

Práctica de módulos

Enviado por vmp el 25 de Julio de 2022 - 08:40.
Prueba que no existe entero $n$ tal que la suma de los dígitos de $n^2$ es $2022$
Problema

Problema técnico de primos

Enviado por Samuel Elias el 11 de Julio de 2022 - 15:27.

Encuentra la suma de los números primos que dividen a todos los números de 3 dígitos con todos ellos iguales.