Este es el resumen de las últimas clases, a ver si me acuerdo bien:
Miércoles 25
Vimos algunos ejemplos más interesantes donde aparece la Identidad de Bezout. Y también vimos algunas propiedades del máximo común divisor.
Jueves 26
Demostramos algunas otras propiedades más de máximo común divisor, incluyendo al Lema de Euclides.
Lunes 30
Estudiamos el Algoritmo de Euclides como un método para encontrar el máximo común divisor de dos enteros. También vimos que podíamos usarlos para encontrar los número $x_0$ e $y_0$ que garantiza la Identidad de Bezout.
Miércoles 1
Usamos el Algoritmo de Euclides para probar unas propiedades más sobre máximo común divisor, como son:
- $(ka,kb)=|k|(a,b)$
- $[a,b](a,b)=ab$, donde $[a,b]$ denota el mínimo común múltiplo.
Jueves 2
Empezamos con el estudio de la Diofantina $ax+by=c$, y demostramos que tiene solución si y sólo si $(a,b)|c$, además que si $x_0$ y $y_0$ es una solución particular, entonces toda otra solución es de la forma: $$x =x_0+\frac{b}{g}k \qquad y=y_0 -\frac{a}{g}k ,$$ donde $g=(a,b)$.
Lunes 6
Continuamos con el estudio de la ecuación Diofantina $ax+by=c$ y resolvimos dos ejemplos.
En particular, usamos el teorema anterior para describir todas las soluciones y encontrar una solución donde tanto $x$ como $y$ sean positivas. Para entender mejor cuándo son positivas y describimos a las soluciones vistas como puntos de una línea recta en $\mathbf{R}^2$.