Como se sabe, la Olimpiada Mexicana de Matemáticas ya va en su edición 24. Para poder elegir una buena selección (de 6), que compita con los demás estados de la república, el proceso de selección en Tamaulipas inició con el concurso ciudades el viernes 23 de abril.
La información que tengo es la de Cd Victoria, en donde fui miembro del jurado. Todavía no le llegan al delegado los informes de las ciudades restantes, pero podemos tomar como representativa la información de Victoria.
El diagnóstico general es que la caballada está flaca (como el año pasado). Hubo muchos ceros. Una razón podría ser que muchos concursantes no tenían la más remota idea de para qué los habían llevado al COBAT 5 ese viernes 23 de abril --el clásico acarreo importado de la política a las matemáticas.
Esta hipótesis puede dar cuenta de los primeros 50 exámenes que llegaron a la sala del jurado desde las 11 y media de la mañana. ("Si no los pude resolver en una hora no tiene caso seguir.")
Cada quien reza para su santo, y no puede ser de otra manera para los profes asesores que ni siquiera tienen una descarga horaria para atender a los estudiantes de alto desempeño.
La excepción es la Secundaria General 4, la cual tiene un taller extacurricular de matemáticas (permanente) --a cargo del profe Alejandro. Vaya una felicitación a su directora por el interés mostrado en mantener su escuela dentro de los estándares de calidad.
Pero también para Alejandro que no ve la descarga horaria para su taller como una canonjía (como lo haría el 99 punto coma porciento de los profes), sino que dedica esa descarga a mantener funcionando su grupo de alumnos de alto desempeño. El hecho de que 6 de sus alumnos hayan quedado en la selección Victoria es el efecto contundente de esa dedicación.
Otro ejemplo para las restantes escuelas es el CBTis 236, el cual también tiene su grupo de excelencia en matemáticas a cargo del profesor Noé Velazquez. Cinco de sus discípulos quedaron en la selección Victoria. En estos dos casos vemos una simbiosis entre un profesor que le interesan las matemáticas y una administración que lo apoya.
Pero es la excepción que confirma la regla --la mayoría de los administradores administran un mundo de papel... por lo menos hasta que llegaran los exámenes estandarizados (ENLACE, por ejemplo).
(Las soluciones de esos administradores son muy ingeniosas: "¿qué necesitamos para mantener un promedio superior al 8? No problema: decretemos que la calificación mínima aprobatoria sea de 8. ¡Ya lo vieron! ¡Asunto arreglado!")
Por otro lado destacan los repetidores. En particular Claudia Lorena, quien obtuvo el puntaje más alto (40 puntos). Claudia asistió al concurso nacional de la Olimpiada Mexicana de Matemáticas en 2009 y esperamos que se siga superando en sus competencias matemáticas y que para el 2012 obtenga el oro que se mostrado muy negado para Tamaulipas en toda la historia de la Olimpiada. Otro repetidor es Bernardo, quien estuvo en la preselección Tamaulipas en 2009. Sin embargo, un mal presagio para él es el hecho de que Felipe Reyna (un novicio) lo haya superado con 2 puntos.
Los problemas
- Problema 1. [1] Carlos tiene un cierto número de monedas de colección. Cuando ordena las monedas en montones de 5, no le sobra ninguna moneda. Cuando las ordena en montones de a 6, tampoco le sobran monedas. Pero si las ordena en montones de 7, le sobra una moneda. ¿Cuál es el menor número de monedas que puede tener Carlos?
- Problema 2. [2] Probar que el número abcabc es múltiplo de 7, de 11 y de 13.
- Problema 3 [3]. Dos números enteros consecutivos son tales que la mitad del menor más el mayor, excede en 13 a 1/5 del menor más 1/11 del mayor. Hallar los números.
- Problema 4. [4] La figura está formada por 6 cuadrados. ¿Cuánto mide el ángulo CBA?
- Problema 5. [5] Con los dígitos 1, 2, ... , 9 ¿Cuántos números de tres cifras distintas se pueden formar con la condición de que la suma de sus cifras sea par?
- Problema 6. En una fiesta se encuentran 10 hombres y ocho mujeres. ¿De cuántas formas pueden integrarse en parejas para bailar una pieza?
- Problema 7 [6]. Sea ABCD un cuadrado con lado 1 cm. Si M y N son los puntos medios de los lados AB y BC, respectivamente. Calcular el área de la zona sombrada.
- Problema 8. [7] Hallar un número de 3 cifras ab6 sabiendo que las tres últimas cifras de ((ab6)^2 son ab6.
- Problema 9. [8] Entre dos vasos A y B de igual capacidad se distribuyen en partes desiguales 10 litros de agua. El vaso A se llenaría si se vertiesen los 4/5 del agua contenida en B, y éste se llenaría si se añadiesen los 3/4 del agua contenida en A. Calcular el agua contenida en cada vaso y su capacidad.
- Problema 10. [9] Dos mangueras llenan una alberca en 4 horas. Si se usan separadamente, la manguera chica se tarda 6 horas más en llenar la alberca que la grande. ¿Cuánto tarda en llenarse la alberca con la manguera chica solamente?
Comentarios a los problemas
Los problemas ya han sido comentados en MaTeTaM y algunos han sido resueltos por sus usuarios. Así que solamente destacaré dos o tres aspectos de ellos.
El problema 1 no presenta ninguna dificultad especial, con excepción del hecho de que no es un ejercicio escolar típico. Y bueno, pues también requiere ciertas competencias de razonamiento. Un ejemplo de esas competencias no han logrado estabilizarse en muchos adolescentes está en un examen que me tocó revisar: el alumno ya había llegado a que el número es múltiplo de 30 y empieza a verificar que no es el 30 ni el 60 ni el 90; y en ese momento dice "la respuesta es 91, pues es divisible entre 7". Creo que este es un ejemplo de que "se le hizo ensalada" no sus conocimientos sino sus metas que se había planteado al principio de la verificación. Y, bueno, yo creo que mantener la atención y las metas claras es una habilidad que está más acá de las matemáticas (es una condición sine qua non para un buen desempeño en cualquier actividad).
El problema 2 tampoco tien una dificultad especial, a excepción de que requiere una traducción ya sea a la notación desarrollada en potencias de 10 o bien a imaginarse el número concreto de 6 cifras. En este sentido tiene una componente abstracta que muchos adolescentes no pueden digerir.
El problema 3 es un ejemplo directo de traducción de un enunciado a ecuaciones. Es clásico de problemas razonados en álgebra. Y si el adolescente no es especialmente alérgico a los quebrados y a la solución de ecuaciones no debería tener ninguna dificultad en resolverlo.
El problema 4 es interesante porque es a la vez simple (por estar dentro de una cuadrícula) y complejo (por estar girado dentro de ella). Se invita al lector a ver las soluciones [4] que han aparecido en los comentarios de MaTeTaM.
El problema 5 requiere darse cuenta de que tienen que ser todos pares o bien dos impares y un par. Es un ejemplo elemental de cómo extraerle más información al enunciado mediante un proceso de inferencia (extraer conclusiones a partir del enunciado las cuales se convierten en nuevos datos). A partir de ahí sí se requiere haber hecho problemas de conteo con anterioridad. Debería ser claro que las posibilidades no se pueden enumerar directamente y es indispensable conocer argumentos de conteo.
El problema 6 es también de combinatoria. Su dificultad principal es darse cuenta que dos parejas son distintas si difieren en al menos un elemento. La respuesta generalizada fue 80. Experimentando con valores más pequeños se puede ver que es errónea. Con 4 hombre y 3 mujeres por ejemplo, se pueden formar más de 12 parejas. Requiere un diagrama de árbol: la primera mujer puede elegir como pareja a cualquiera de los 4 hombres, la segunda a cualquiera de los 3 que quedan, y la tercera a cualquiera de lso 2 restantes. En total hay 24 parejas posibles. El argumento es fácilmente generalizable.
El problema 7 es difícil para un novicio, sobre todo en la parte de elegir la forma de resolverlo. Se requiere saber de triángulos semejantes para demostrar que el triángulo de área sombreada es rectángulo. (Y esa es "la criminal" --la frase es de Bobby Fisher-- para la mayoría de los adolescentes.) Después de establecer eso el problema se resuelve con Pitágoras (o con semejanzas). Se invita al lector a ver la solución [6].
El problema 8 es especialmente difícil por el hecho de que no es claro por donde entrarle. En los comentarios hay dos soluciones: mediante un enfoque directo con el algoritmo de la multuplicación (Sadhi) y mediante aritmética modular (Germán). La clave es traducir a "las últimas tres cifras de (ab6)^2 son ab6" (Ya sé que eso se dice en el enunciado pero no es fácil tener una representación concreta de eso. Para estos casos es indispensable la experimentación: por ejemplo preguntarse ¿en qué termina (106)^2? conduce a aclarar la situación (11236 no termina en 106).
El problema 9 es de álgebra básica. Pero es más complicado de modelar que el de los quebrados: hay que simbolizar tanto los contenidos como las capacidades de los vasos, establecer las ecuaciones y resolver. Nada especial pero sí para el estudiante común y corriente.
El problema 10 es clásico en el tema de proporcionalidad inversa. Un tema que --hay que decirlo-- no lo entienden ni los profes... con sus excepciones claro está.
Los saluda
jmd