Como vimos anteriormente, la resta de dos números, del mismo residuo al dividir entre $m$ , es divisible por $m$ . Es por ello, que se inventó la notación de módulos:
| $a \equiv b$ $(\textrm{mod}$ $m) $ significa que a y b tienen el mismo residuo al dividirse por m. |
Esta notación se lee así: a congruente con b módulo m.
En principio puede parecer una definición sin sentido, pero la gran ventaja de esta notación es la clara forma de expresar los siguientes resultados tan valiosos:
| Propiedades | |
|---|---|
| $a \equiv b$ $(\textrm{mod}$ $m)$ y $c \equiv d$ $(\textrm{mod}$ $m) \Rightarrow$ $a+c \equiv b+d$ $(\textrm{mod}$ $m)$ | Conservación de la suma. |
| $a \equiv b$ $(\textrm{mod}$ $m)$ y $c \equiv d$ $(\textrm{mod}$ $m) \Rightarrow$ $ac \equiv bd$ $(\textrm{mod}$ $m)$ | Conservación del producto. |
Estos resultados se dejan como actividad para el lector. Pero, es mejor calentar primero con la siguientes propiedades básicas.
| Propiedades básicas | |
|---|---|
| $a \equiv a$ $(\textrm{mod}$ $m)$ | Reflexión. Un número siempre es congruente consigo mismo. |
| $a \equiv b$ $(\textrm{mod}$ $m) \Rightarrow$ $b \equiv a$ $(\textrm{mod}$ $m)$ | Simétrica. a congruente con b , es lo mismo que b congruente con a |
| $a \equiv b$ $(\textrm{mod}$ $m)$ y $b \equiv c$ $(\textrm{mod}$ $m) \Rightarrow$ $a \equiv c$ $(\textrm{mod}$ $m)$ | Transitividad. a congruente con b y este congruente con c, entonces a y c son congruentes. |
Cabe señalar, aunque caiga fuera de los objetivos de esta página, que las propiedades de la tabla anterior convierten a la congruencia en una relación de equivalencia.
Bueno, nada más por no dejar presentamos las pruebas de la preservación de la suma y del producto.
Conservación de la suma
Deseamos probar:
\[a \equiv b \pmod{m} \textrm{ y } c \equiv d \pmod{m} \Rightarrow a+c \equiv b+d \pmod{m} \]
Entonces, por hipótesis, se tiene que a y b tienen el mismo residuo al dividir entre n y, de la misma manera, c y d. Traducido en términos algebraicos, esto significa que existe $ p $ y $ q $ tales que: $a-b = mp$ y $c-d = mq$. Ahora bien, al sumar estas dos últimas igualdades se obtiene que $(a-b) +(c-d) = mp+mq =m(p+q)$. Reagrupando, $(a+c) -(b+d) = m(p+q)$. Lo anterior significa que la resta de (a+c) y de (b+d) es divisible por m, o lo que es lo mismo, tienen el mismo residuo. Por lo tanto $a+c \equiv b+d$ $(\textrm{mod}$ $m)$.
Conservación del producto
Es un buen ejercicio dejar esta prueba para los alumno, pero se presenta aquí para aquél que deseé consultarla. Bueno, pues deseamos probra que:
| $a \equiv b$ $(\textrm{mod}$ $m)$ y $c \equiv d$ $(\textrm{mod}$ $m) \Rightarrow$ $ac \equiv bd$ $(\textrm{mod}$ $m)$ |
Entonces, sabemos que existen $ p $ y $ q $ tales que:
\begin{eqnarray}\label{equation_1} a-b&=&mp\\ \label{equation_2} c-d&=&mq \end{eqnarray}Ahora bien, multiplicando la ecuación (\ref{equation_1}) por $ c $ y la ecuación (\ref{equation_2}) por $ b $, se obtienen las siguientes igualdades:
\begin{eqnarray*} ac-bc &=& mpc\\ bc-bd &=& mqb \end{eqnarray*}Sumando ambas ecuaciones se obtiene que $ac -bd = m(pc+qb)$, es decir, $ac \equiv bd$ $(\textrm{mod}$ $m)$ .