Notación sumatoria e instancias de uso

Enviado por jmd el 11 de Diciembre de 2009 - 10:09.
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Quizá una de las razones por las que no se enseña la notación sumatoria en la escuela hasta el cálculo o hasta la estadística descriptiva es porque antes no se necesitaba. Es muy útil cuando se necesita saber si una serie infinita converge --y el tema de las series infinitas es del cálculo. Pero se puede abordar antes del cálculo, en el tema de sucesiones aritmética y geométrica y sucesiones recursivas, a lo cual puede seguir el de ciertos trucos para resolver ecuaciones de recurrencia elementales como la transformada Z.

Algunas propiedades de la notación sumatoria

1. Sumar n veces el 1:

$$\sum_{i=1}^{n} {1} = 1 + 1 + 1 + ... + 1 }=n$$

(Es obvio.. pero una vez que ya está uno familiarizado con la notación sumatoria. Debe interpretarse así: la sucesión que se está sumando es $ a_i=1 $, es decir, todos sus términos son iguales a la unidad; así que cada vez que sumo un término, sumo el 1.)

2. Sumar n veces una constante c:
$$ \sum_{i=1}^{n} c = c + c + c + ... + c =nc$$


De aquí se deriva la propiedad  $ \sum_{i=1}^{n} ca_i = c\times \sum_{i=1}^{n} a_i $

Y esta otra:
$$ \sum_{i=1}^{n} {c+ba_i} = nc + b\times\sum_{i=1}^{n} a_i$$


Instancia de uso:

\begin{align*} \sum_{i=1}^{1000}{4 + 3i} &=\sum_{i=1}^{1000}{4} + \sum_{i=1}^{1000}{3i }\\ &=1000\times 4+ 3\times\sum_{i=1}^{1000}{i} \end{align*}
Otra instancia de uso:

 

\begin{align*} \sum_{i=1}^{2000} {(i-3)^2} &= \sum_{i=1}^{2000} {(i^2 - 6i + 9)}\\ &=\sum_{i=1}^{2000} {i^2}-\sum_{i=1}^{2000}{6i}+\sum_{i=1}^{2000}{9}\\ &= \sum_{i=1}^{2000}{i^2}-6\times\sum_{i=1}^{2000}{i}+\sum_{i=1}^{2000}{9} \end{align*}

Algunas fórmulas conocidas en notación sumatoria:

  1. Suma de los primeros naturales:
    $$\sum_{i=1}^{n} i = 1 + 2 + 3 + ... + n= \frac{ n(n+1)}{2} $$
  2. Suma de los primeros cuadrados perfectos:
    $$\sum_{i=1}^{n} i^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2= \frac{ n(n+1)(2n+1)}{6}$$
  3. Suma de los primeros cubos perfectos:
    $$\sum_{i=1}^{n} i^3 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3=\frac { n^2(n+1)^2}{4}$$

Instancia de uso

\begin{align*} \sum_{i=10}^{80} {i^3 + i^2 } &= \sum_{i=10}^{80}{ i^3} + \sum_{i=10}^{80}{ i^2} \qquad \textrm{Advertencia: !` la suma empieza en 10!}\\ &= \sum_{i=1}^{80} {i^3} - \sum_{i=1}^{9}{i^3} + \sum_{i=1}^{80}{i^2}-\sum_{i=1}^{9}{i^2}\\ &=\sum_{i=1}^{80}{i^3}-\sum_{i=1}^{9}{i^3} + \sum_{i=1}^{80}{i^2}-\sum_{i=1}^{9}{i^2}\\ &=\frac{80^2(80+1)^2}{4}-\frac{9^2(9+1)^2}{4} +\frac{80(80+1)(160+1)}{6}-\frac{9(9+1)(18+1)}{6}\\ &=\frac{80^2(80+1)^2}{4} - \frac{ 9^2(9+1)^2}{ 4 }+ \frac{ 80(80+1)(160+1)}{ 6 } - \frac{ 9(9+1)(18+1)}{6}\\ &= 10,497,600 - 2025 + 173,880 - 285\\ &=10,669,170 \end{align*}