Ejemplo: Prueba que 6 divide a 20112000+5.
La solución con congruencias es muy fácil. Como queremos ver si algo es divisible entre 6 pues usaremos modulo 6.
Sin mucho trabjo se puede calcular el residuo de 2011, que es 1. Es decir:
Ahora bien, también se tiene la siguiente congruencia:
¡Pero si es la misma! 8-o
Sí es la misma, pero lo importante es que viendola escrita dos veces queda claro que se pueden usar las propiedades de conservación del producto (sólo que a=c y b=d). Entonces, por la conservación del producto se tiene que:
O lo que es lo mismo:
Ahora, si aplicamos nuevamente la conservación del producto se obtiene:
Que es lo mismo que:
De esto se observa que podermos seguir así hasta probar que:
Por último, se sabe que:
Y usando la conservación de la suma se obtiene:
Peo como 6 es congruentre con 0 modulo 6, entonces se tiene que:
O lo que es lo mismo: $2011^n + 5 $ es divisble por 6 para todo valor de n.
Ejercicios de práctica
- Demuestra que $11$ divide a $7^{10n} -1$ para todo entero $n$.
- Demuestra que $11$ divide a $7^{5n}+1$ para todo impar $n \geq 0$.
- Demuestra que $11$ divide a $7^{2n+1} + 2^{4n+2}$ para todo entero $n$.
Hola jesus, mi duda es que si
Hola jesus, mi duda es que si el ejemplo fuera probar que el 7, el 8 o otro numero divide a ese numero(el 20011 a la 2000 +5) en vez del 6, como se resolveria?
Seria divisible? Se supone que ahi el residuo ya no seria uno y todo cambia no? Como sería?
Saludos, Arturo López
Buena pregunta Arturo, pues
Buena pregunta Arturo, pues voy a contestarte analizando el ejemplo que propones, esto es, en lugar de 6 ponemos un 7.
En este caso, como podrás observar, $2011 \not \equiv 1 \pmod{7}$, en realidad, ahora se tiene (al hacer la división) que $$2011 \equiv 2 \pmod{7}.$$
Entonces, ya no es tan obvio qué pasa al elevar a cualquier potencia, pero sí podemos fácilmente calcular el cuadrado: $$2011^2 \equiv 4 \pmod{7}.$$
Ahora al cubo: $$2011^3 \equiv 8 \equiv 1 \pmod{7}.$$
Para ésta última congruencia estoy usando la transitividad, por lo que efectivamente tengo que $$2011^3 \equiv 1 \pmod{7}$$
Ahora SÍ tengo residuo uno, entonces, al elevar a la
$n$ se concluye que:
$$2011^{3n} \equiv 1 \pmod{7} \qquad \textrm{Para todo entero } n$$
Por otro lado, como tenemos que $2011 \equiv 2 \pmod{7}$, multiplicamos ambas congruencias y llegamos a que: $$2011^{3n+1} \equiv 2 \pmod{7} \qquad \textrm{Para todo entero } n$$
De manera similiar obtenemos que: $$2011^{3n+2} \equiv 4 \pmod{7} \qquad \textrm{Para todo entero } n$$
En otras palabra, podemos determinar cuál será el residuo de $2011^m$ módulo 7 para cualquier entero $m$. Basta con determinar el residuo de $m$ al dividir entre $3$ y ya está.
Entonces, ya no es dificil determinar cuál es el residuo de $2011^{2000}+5$ módulo $7$ (¿cuál es?). Para que practiques estas técnicas te dejo los siguientes ejercicios:
Saludos