Apliaciones de los módulos

Enviado por jesus el 12 de Marzo de 2010 - 23:59.

Ejemplo: Prueba que 6 divide a 2011²⁰⁰⁰+5.

La solución con congruencias es muy fácil. Como queremos ver si algo es divisible entre 6 pues usaremos modulo 6.

Sin mucho trabjo se puede calcular el residuo de 2011, que es 1. Es decir:

$2011 \equiv 1\pmod{6}$

Ahora bien, también se tiene la siguiente congruencia:

$2011 \equiv 1\pmod{6}$

¡Pero si es la misma! 8-o

Sí es la misma, pero lo importante es que viendola escrita dos veces queda claro que se pueden usar las propiedades de conservación del producto (sólo que a=c y b=d). Entonces, por la conservación del producto se tiene que:

$2011 \times 2011 \equiv 1\times 1\pmod{6}$

O lo que es lo mismo:

$2011^2 \equiv 1 \pmod{6}$

Ahora, si aplicamos nuevamente la conservación del producto se obtiene:

$2011^2 \times 2011 \equiv 1\times 1\pmod{6}$

Que es lo mismo que:

$2011^3 \equiv 1 \pmod{6}$

De esto se observa que podermos seguir así hasta probar que:

$2011^n \equiv 1 \pmod{6}$

Por último, se sabe que:

$5 \equiv 5 \pmod{6}$

Y usando la conservación de la suma se obtiene:

$2011^n + 5 \equiv 6 \pmod{6}$

Peo como 6 es congruentre con 0 modulo 6, entonces se tiene que:

$2011^n + 5 \equiv 0 \pmod{6}$

O lo que es lo mismo: $2011^n + 5$ es divisble por 6 para todo valor de n.

Comentarios

#1 Hola jesus, mi duda es que si

Enviado por arturolz el 22 de Junio de 2010 - 21:15.

Hola jesus, mi duda es que si el ejemplo fuera probar que el 7, el 8 o otro numero divide a ese numero(el 20011 a la 2000 +5) en vez del 6, como se resolveria?

Seria divisible? Se supone que ahi el residuo ya no seria uno y todo cambia no? Como sería?

Saludos, Arturo López

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#2 Buena pregunta Arturo, pues

Enviado por jesus el 23 de Junio de 2010 - 14:37.

Buena pregunta Arturo, pues voy a contestarte analizando el ejemplo que propones, esto es, en lugar de 6 ponemos un 7.

En este caso, como podrás observar, $2011 \not \equiv 1 \pmod{7}$ , en realidad, ahora se tiene (al hacer la división) que

$2011 \equiv 2 \pmod{7}.$

Entonces, ya no es tan obvio qué pasa al elevar a cualquier potencia, pero sí podemos fácilmente calcular el cuadrado:

$2011^2 \equiv 4 \pmod{7}.$

Ahora al cubo:

$2011^3 \equiv 8 \equiv 1 \pmod{7}.$

Para ésta última congruencia estoy usando la transitividad, por lo que efectivamente tengo que

$2011^3 \equiv 1 \pmod{7}$

Ahora SÍ tengo residuo uno, entonces, al elevar a la
$n$ se concluye que:

$2011^{3n} \equiv 1 \pmod{7} \qquad \textrm{Para todo entero } n$

Por otro lado, como tenemos que $2011 \equiv 2 \pmod{7}$ , multiplicamos ambas congruencias y llegamos a que:

$2011^{3n+1} \equiv 2 \pmod{7} \qquad \textrm{Para todo entero } n$

De manera similiar obtenemos que:

$2011^{3n+2} \equiv 4 \pmod{7} \qquad \textrm{Para todo entero } n$

En otras palabra, podemos determinar cuál será el residuo de $2011^m$ módulo 7 para cualquier entero $m$ . Basta con determinar el residuo de $m$ al dividir entre $3$ y ya está.

Entonces, ya no es dificil determinar cuál es el residuo de $2011^{2000}+5$ módulo $7$ (¿cuál es?). Para que practiques estas técnicas te dejo los siguientes ejercicios: