Mediana a la hipotenusa

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Sea M el punto medio de la hipotenusa de un triángulo ABC rectangulo en C. Demostrar que M es equidistante de los vertices.

Demostración(es)
Demostración: 

Por M tracemos una paralela a CA, y sea D su punto de intersección con el cateto BC. Puesto que DM es paralela a CA y CA es perpendicular a BC, entonces DM es también perpendicular a BC. Por el teorema de la línea media se sabe que D es punto medio de BC. Pero entonces DM es mediatriz de BCM. De aquí que BM=CM (pues la mediatriz de un segmento es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los extremos).

(Alternativamente, se puede ver que los triángulos rectángulos BDM y CDM tienen los catetos correspondientemente iguales y entonces son congruentes por el criterio LAL. De aquí que BM=CM.)

Una tercera demostración de logra observando que M es el circuncentro del triángulo ABC.




Imagen de Casanova

Pues por analitica ( algo que

Pues por analitica ( algo que se ve en preparatoria ) tenemos la siguiente figura:.

Imagen de Casanova

     Tenemos que: AD =  

 

 

 Tenemos que:

AD = $\root {} \of {(b/2-0)^2+(a/2-a)^2}$   = $\root {} \of {(b^2/4 + a^2/4)}$ 

DB= $\root {} \of {(b/2-b)^2+(a/2-0)^2}$   = $\root {} \of {(b^2/4 + a^2/4)}$ 

CD= $\root {} \of {(b/2-0)^2+(a/2-0)^2}$   = $\root {} \of {(b^2/4 + a^2/4)}$ 

de aqui que la distancia del punto D a los vertices A,B,C es la misma 

 

Saludos!

Imagen de jmd

Aaaaaaaaalright

Aaaaaaaaalright

Imagen de Fernando Mtz. G.

Otra posible demostración es

Otra posible demostración es utilizar el teorema de apolonio para calcular la longitud de la mediana (del dibujo de casanova) $CD$ = $ \frac{\sqrt{2a^2 +2b^2 - c^2}}{2}$, y puesto que el triángulo es un triángulo rectángulo, por el teorema de pitagoras se tiene que $CD$ =$ \frac{c}{2}$,
además $AD = DB =\frac{c}{2}$ por ser $D$ punto medio de $AB$