XXVI OMM --los problemas del primer día

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Problema 1. Sean $C_1$ una circunferencia con centro $O$, $P$ un punto sobre ella y $l$ la recta tangente a $C_1$ en $P$. Considera un punto $Q$ sobre $l$, distinto de $P$, y sea $C_2$ la circunferencia que pasa por $O, P$ y $Q$. El segmento $OQ$ intersecta a $C_1$ en $S$ y la recta $PS$ intersecta a $C_2$ en un punto $R$ distinto de $P$. Si $r_1$ y $r_2$ son las longitudes de los radios de $C_1$ y $C_2$, respectivamente. Muestra que $PS/SR=r_1/r_2$.

Problema 2. Sea $n\geq 4$ un número par. Considera una cuadrícula de $n\times n$. Dos celdas (cuadraditos de 1x1) son vecinas si comparten un lado, si están en extremos opuestos de un mismo renglón o si están en extremos opuestos de una misma columna. De esta forma, toda celda en la cuadrícula tiene exactamente cuatro celdas vecinas. En cada celda está escrito un número del 1 al 4 de acuerdo con las siguientes reglas:

  •  Si en una celda está escrito un 2 entonces en dos o más celdas vecinas está escrito un 1.
  •  Si en una celda está escrito un 3 entonces en tres o más celdas vecinas está escrito un 1.
  •  Si en una celda está escrito un 4 entonces en las cuatro celdas vecinas está escrito un 1.

Entre los acomodos que cumplan las condiciones anteriores, ¿cuál es el máximo número que se puede obtener sumando los números escritos en todas las celdas?

Problema 3. Muestra que entre cualesquiera 14 números enteros positivos consecutivos siempre hay 6 números tales que cualesquiera dos de ellos son primos relativos.

Nota: Dos números $a, b$ son primos relativos si su único divisor común positivo es el 1.

(Enviados a MaTeTaM por José Luis del Angel Medellín --las gracias le sean dadas.)

Los saluda
jmd




Imagen de German Puga

En el problema 2, minimo en

En el problema 2, minimo en cuantas celdas hay escrito un 'dos' o un 'tres'?

Imagen de Gilberto Brewer

Pues se pueden formar

Pues se pueden formar combinaciones en las que no se utiliza ni un 2 ni un 3 y que cumplan con las condiciones.

Imagen de German Puga

Entonces sea  n  el mayor

Entonces sea  n  el mayor numero par existente, formemos la primera fila de manera alternada con los  uno's y los cuatro's de  tal manera que si en una fila se empieza con cuatro termina con uno, de manera analoga para las columnas y esta cuadricula cumplira las condiciones, al sumarlos obtenemos;

(n²/2) + (n²/2) 4

Pd. si se me pasa algun detalle les agradeceria que me dijeran.

saludos:)

Imagen de German Puga

Gracias Gilberto! acabo de

Gracias Gilberto! acabo de ver el engargolado de las pasadas olimpiadas, felicidades!:) me podrias pasar tu 'fb' ?