Una de las formas de iniciar en el álgebra a los adolescentes interesados es iniciar enseñando la terminología asociada a las expresiones algebraicas (esto, obviamente con ejemplos): término, literal, coeficiente, términos semejantes, grado de un término, etc. El lector debería consultar esas definiciones en MaTeTaM siguiendo los links a manera de calentamiento.
El siguiente paso es introducir y profundizar un poco en la regla distributiva y los productos notables (con la que inicio este post --claramente no espero que con esto aprendan álgebra pero...).
La regla distributiva
En álgebra, la regla distributiva de la multiplicación respecto a la suma se expresa de la siguiente manera $a(b+c)=ab+ac$. En aritmética equivale a decir que
si multiplicamos un número por la suma de otros dos, el resultado es el mismo si primero sumamos y después multiplicamos o si multiplicamos cada uno de los sumandos por el número y después sumamos los productos obtenidos.
Una forma de recordar la regla es pensar el producto de dos cantidades como el área de un rectángulo: en $a(b+c)$, $a$ es la altura y $b+c$ la base.
La regla distributiva de la multiplicación respecto a la suma se puede usar de dos maneras: para expandir o desarrollar un producto de la forma $a(b + c)$, con lo cual se obtiene $ab + ac$; y para factorizar una suma $ab+ac$ y lograr el producto $a(b+c)$.
Así pues, en la identidad $a ( b + c ) = ab + ac$ tenemos dos expresiones algebraicas equivalentes (una identidad, insisto). Y podemos usar una u otra expresión según nos convenga. Del lado izquierdo tenemos un producto, del lado derecho tenemos una suma.
Pero hay otra forma de ver la regla distributiva. En sus instancias de uso tenemos solamente uno de los lados y se trata de obtener la expresión equivalente del otro lado. Si tenemos el lado izquierdo, lo que tenemos que hacer –si así nos conviene-- es expandir el producto (también se dice “abrir el paréntesis”). Si tenemos el lado derecho, puede ser útil factorizar para obtener el lado izquierdo.
A pesar de su simplicidad, la regla distributiva es muy versátil en la solución de problemas algebraicos. Veamos algunas
Instancias de uso teóricas de la regla distributiva
Binomio al cuadrado: $( x + y )^2 = x^2 + 2 x y + y^2$
Diferencia de cuadrados: $(x + y ) (x - y ) = x^2 – y^2$
Producto general de binomios: $(a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd$
En este último caso (del producto general de dos binomios), se procede en dos pasos (aplicando dos veces la ley distributiva):
$(a + b) (c + d) = (a + b)c + (a + b)d = ac + bc + ad + bd$
Combinatoria de la expansión de productos
Se requiere práctica para omitir el paso intermedio en la expansión de productos. La idea básica de la expansión, i.e., de la operación de “abrir paréntesis” de acuerdo a la regla distributiva, es que cada término del primer paréntesis debe multiplicarse por cada término del segundo paréntesis, y cada multiplicación de esas resulta en un sumando (término) de la expansión.
Este principio es ya una combinatoria y vale la pena insistir un poco más en él. Primero veamos una representación tabular del producto de binomios $(a+b)(c+d)$:
| c | d | |
| a | ac | ad |
| b | bc | bd |
En esta tabla o matriz se puede ver claramente el
principio combinatorio: efectuar todos los productos posibles tomando un término del primer paréntesis y uno del segundo;
el número de sumandos de la expansión es así el número de términos del primer paréntesis por el número de términos del segundo. (Se parece a una tabla de multiplicar, sólo que aquí hay que sumar todos los resultados al final.)
La tabla $2\times2$ recién presentada ayuda a la memoria al dotar a la mente de una imagen. En la siguiente instancia de uso puede uno separar las operaciones por pares de paréntesis.
$$(1+a ) (1+b ) (1+c ) (1+d ) = [(1+a) (1+b)][(1+c ) (1+d)]$$
$$= [1+b+a+ab][1+d+c+cd]$$
$$=1+d+c+cd+b+bd+bc+bcd+a+ad+ac$$
$$+acd+ab+abd+abc+abcd$$
$$=1+(a+b+c+d)+(ab+ac+ad+bd+cd+(abc+abd+acd+bcd+abcd$$
Otra forma de ayudar a la memoria, en la expansión de productos como el anterior, es el orden lexicográfico (o de diccionario) que considera los productos de términos como si fuesen “palabras” (y no números, como es lo usual en algebra).
Por el principio combinatorio, se toma un término de cada paréntesis, éstos se multiplican, y se obtiene un término de la expansión. Entonces, o tomo el 1 o tomo la letra, y se ve claro que deben resultar 16 términos en la expansión. En orden lexicográfico son:
1
a
b
c
d
ab
ac
ad
bc
bd
cd
abc
abd
acd
bcd
abcd
Otras instancias de uso
Trinomio al cuadrado: $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$
Esta identidad se obtiene así:
$$(a + b + c) (a + b + c)$$
$$ = aa + ab +ac + ba +bb +bc + ca + cb + cc$$
Y, agrupando términos semejantes (tomando en cuenta la conmutatividad del producto), se obtiene el resultado.
Diferencia de cuadrados: $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$
Esta identidad se obtiene así:
$$x^2 – y^2 = x^2 + xy – xy – y^2$$
$$ = x(x + y) - (x + y)y = (x + y)(x - y)$$
Es muy útil el truco de sumar y restar la misma cantidad en una expresión algebraica, cuando se tiene necesidad de factorizar (y en otras situaciones).
Una factorización no evidente:$$(x^4 + x^2 + 1 ) = x^4 + 2 x^2 + 1 – x^2$$$$ = (x^2 +1)^2 - x^2 = (x^2 +1+x)(x^2 +1- x)$$
Como se puede ver en la anterior instancia de uso (de la propiedad distributiva), la factorización de una expresión algebraica puede no ser evidente a primera vista.
Primero se tiene que ver que se puede formar un binomio al cuadrado mediante el truco de sumar y restar. Y para ello se requiere práctica.
Completar el trinomio cuadrado perfecto:$$x^2 + 2x = x^2 + 2x + 1 – 1 = (x + 1)^2 – 1$$
Este truco es muy útil para resolver ecuaciones cuadráticas. Por ejemplo,
$x^2 + 2x = 3$ puede resolverse así:$$x^2 + 2x + 1 – 1 = 3$$$$(x + 1)^2 – 1 = 3$$$$(x + 1)^2 = 4$$
Por tanto $x +1 = 2$ (o -2). Es decir, $x =1$ o $x = -3$.
Los saluda
jmd