En combinatoria, es un tipo de argumento que se utiliza para demostrar identidades combinatorias, o en el paso inductivo de una demostración. Su nombre proviene de un artificio argumentativo: recurre al señalamiento de un elemento con miras a realizar una clasificación (de hecho, una bipartición) del conjunto cuya cardinalidad se está calculando.
El elemento que se distingue o señala es solamente un pretexto para realizar la clasificación y nada tiene de especial, sino que su papel es hacer el argumento más claro.
Ejemplo 1. Para demostrar la identidad $C(n+1,k)=C(n,k-1)+C(n.k)$ se argumenta de la siguiente manera:
Los subconjuntos de tamaño $k$ de $\{1,2,\ldots,n\}$ se pueden clasificar en dos clases exhaustivas y excluyentes; los que contienen el 1 y los que no lo contienen. Los que contienen el 1 son tantos como $C(n,k-1)$ --de los $ n $ elementos restantes elijo $ k-1$ para completar los $k$. Los que no contienen el 1 son tantos como $C(n,k)$ --de los $ n $ elementos restantes elijo los $k$.
Como las clases son disjuntas y su unión son todos los subconjuntos de tamaño $k$ de $\{1,2,\ldots,n\},$ entonces puedo aplicar el principo aditivo y ya acabamos.
(También, de manera equivalente, el argumento se presenta así: aparto el 1 y elijo $ k-1$ de los $ n $ elementos restantes; le agrego el 1 para formar un subconjunto que contiene el 1. Elijo los $k$ elementos de los $ n $ restantes para formar un subconjunto que no contiene el 1.)
Ejemplo 2. Para demostrar (por inducción) que el número de todos los subconjuntos de $\{1,2,\ldots,n\}$ es $2^n$ se procede (en el paso inductivo) así:
En $\{1,2,\ldots,n, n+1\}$ señalamos el $n+1.$ Cada uno de sus subconjuntos ya sea que contiene el $n+1$ o no lo contiene (clasificación en dos clases exhaustivas y excluyentes).
Los que contienen el $n+1$ son $2^n$ en número pues, por hipótesis de inducción, son los subconjuntos de $\{1,2,\ldots,n\}$ con el $n+1$ añadido.
Los que no contienen el $n+1$ son también $2^n$ en número pues, por hipótesis de indución, son los subconjuntos de $\{1,2,\ldots,n\}.$
Por el principio aditivo, al sumar ambas cantidades, resulta en $2^n+2^n=2^{n+1}$, el número de subconjuntos de $\{1,2,\ldots,n,n+1\}.$
Nota:
En el ejemplo 1 el argumento describe el momento de la elección; en el ejemplo 2, en cambio, el argumento describe una situación en que los elementos ya están a la vista (ya han sido elegidos).
Los dos son equivalentes, pero quizá sea más fácil para el aprendiz asimilar el de la clasificación de una lista de los objetos que se están contando "como si los estuviera viendo".
Ambos argumentos son experimentos imaginarios y, como tales, el lector tiene que conectarse en ese canal, es decir, debe imaginarse la situación que se está describiendo --de otra manera le será muy difícil explicarse cómo esos argumentos pueden constituir una demostración matemática. (Y no estaría de más que hiciera la clasificación para valores pequeños de $ n $ y $k$.)
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