Creo que el problema 10 del concurso estatal ONMAPS Tamaulipas 2014 está más allá de las competencias de secundaria. Pero no por los conocimientos requeridos para resolverlo sino por la manera en que se combinan para conducir a una solución.
Si bien la solución solamente requiere conocer el criterio LAL para congruencia de triángulos [1], así como los teoremas de la línea media [2], el de la mediana a la hipotenusa [3], el del ángulo exterior [4] y el hecho de que los ángulos opuestos de un paralelogramo son iguales (conocimientos todos incluídos en los programas de secundaria), así y todo, la forma en que se combinan esos conocimientos está más allá de las habilidades de un adolescente de secundaria --incluso si hizo todas las tareas y tomó entrenamientos de matemáticas de concurso.
Porque primero hay que idear el plan de solución con los datos disponibles y teniendo a la vista la configuración derivada del enunciado. Y eso es lo verdaderamente difícil del problema. El problema es el siguiente:
En el interior de un triángulo ABC se elige el punto P de tal manera que los ángulos PAC y PBC son iguales. Las perpendiculares desde P a BC y CA cortan estos lados en L y M, respectivamente. Si D es el punto medio de AB, demostrar que DL=DM.
Solución
Vamos a demostrar que el triángulo MDL es isósceles. Para ello demostraremos DL=DM vía congruencia de triángulos.
Para aprovechar el dato de que D es punto medio de AB trazamos las paralelas por P a PA y PB, las cuales cortan, respectivamente, a PB y PA en sus puntos medios, digamos en F y E, formando el paralelogramo PEDF. Pero entonces LF y ME son medianas a la hipotenusa de los triángulos rectángulos PLB y PMA.
Llamemos x a la medida de los ángulos que por dato son iguales. Por mediana a la hipotenusa, los ángulos AME y FLB también miden x. Entonces, los ángulos PEM y PFL miden 2x (por ser exteriores).
Y como PEDF es paralelogramo, sus ángulos opuestos en E y F son iguales. Se concluye que los ángulos DEM y LFD son iguales. Finalmente, por las líneas medias, EM=FD y ED=FL. De aquí que (por el criterio LAL) los triángulos DEM y LFD son congruentes. Como se quería.
Puerta de entrada a la solución
¿Qué tengo para continuar? Tengo dos triángulos rectángulos, dos ángulos iguales,... ah y entonces los dos triángulos rectángulos son semejantes... y los dos segmentos que quiero iguales cruzan las hipotenusas --lo cual parece que nada aportan.
Tengo también un cuadrilátero cíclico (CMPL)... pero no hay conexión con los otros ángulos en la configuración,... en resumen parece que solamente tengo los triángulos rectángulos...
Regresamos entonces a los triángulos rectángulos (donde hay más luz), ... si trazo sus medianas a la hipotenusa se forman triángulos con los segmentos que quiero iguales y se podría intentar congruencia de triángulos. Parece que no hay otra...
Los saluda
jmd
PD: Parecería que la solución planteada es la única forma de resolverlo. Agradecería a los lectores comprtieran con matetam alguna otra...