Línea media

Enviado por jmd el 21 de Octubre de 2009 - 21:52.

El segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralelo al tercer lado y mide la mitad de éste.

Demostración(es)

Demostración:

Sean D y E los puntos medios de CA y BC, respectivamente, y prolonguemos DE hasta F de tal manera que DE=EF. Los triángulos CED y BEF son congruentes (por el criterio LAL) --pues en el punto E los ángulos opuestos por el vértice son iguales, DE=EF por construcción y CE=EB por hipótesis. Se tiene entonces que CD=BF. Pero CD=DA por hipótesis. Luego, DA=BF.

También, por la congruencia de los triángulos CED y BEF, los ángulos EDC y BFE son congruentes (miden lo mismo). Pero esos ángulos son alternos internos en las rectas CA y BF con transversal DF. Luego, AD//BF. (Alternativamente, se puede ver que los ángulos DCE y FBE son iguales y alternos internos.)

En conclusión, AD y BF son iguales y paralelos. Por tanto, el cuadrilátero ABFD es paralelogramo. Esto demuestra que DE//AB.

Para ver que DE mide la mitad de AB basta recordar que, por construcción, E es punto medio de DE.

Comentarios

#1 Pues tambien solo es de

Enviado por Casanova el 21 de Octubre de 2009 - 22:26.

Pues tambien solo es de dibujar la figura...

Obtener las pendientes y sacar los lados :D

Boom boom

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#2 Le toca a Bernardo :P

Enviado por Casanova el 21 de Octubre de 2009 - 22:27.

Le toca a Bernardo :P

Boom boom

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#3

Enviado por arbiter-117 el 21 de Octubre de 2009 - 22:53.

chuck norris es la unica persona que puede obtener 42 puntos................................ en una hoja en blanco y en los primeros 3 problemas

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#4 Ok me gusta mas mi imagen

Enviado por arbiter-117 el 21 de Octubre de 2009 - 23:24.

Ok me gusta mas mi imagen hahahah, $A(0,0) ,B(b,c) ,C(a,0)$ son las coordenadas de los puntos del triangulo y $D(b/2,c/2) y E((a+b)/2, c/2)$ hahaha no supe como ponerlas en la figura. Bueno ya que caza me molesto mucho que no le puedo poner numeros y no se como quitarselos imaginense que no hay. Ya, bueno la pendiente de $AC=0$ y la pendiente de $DE=((C-C)/2)/(b/2)-(a+b)/2))=0$ entonces son paralelas, y la distancia de $AC=\sqrt{(a-0)^2+(0-0)^2}=a$ y la distancia de $DE=\sqrt{((a+b-b)/2)^2+((c-c)/2)^2}=a/2$ me pase algunos pasos en las operaciones por que me dio flojera :). Y para los otros lados vendria siendo el mismo procedimiento :p, y ya queda demostrado con analitica, creo que es asi ;p.Me emocione con los parentesis yeaaaaa.