P3. Desigualdades en un selectivo

Enviado por Samuel Elias el 19 de Octubre de 2024 - 14:05.

Sean $a,b,c$ números reales positivos tales que $abc=\frac{1}{8}$. Demuestra que: \[a^2+b^2+c^2+a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2\geq\frac{15}{16}\]

Sugerencia

Sugerencia:

Estudia $a^2+b^2+c^2$ y $a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2$ por separado. Puedes usar $MA-MG$ o alguna otra desigualdad que conozcas.

Solución

Solución:

Por $MA-MG$, $$a^2+b^2+c^2 \geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}=3\left(\sqrt[3]{\frac{1}{8}}\right)^2=3 \cdot \frac{1}{4}=\frac{3}{4}$$

También por $MA-MG$,

$$a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2\geq 3\sqrt[3]{a^2a^2b^2b^2c^2c^2}=3\sqrt[3]{(abc)^4}=3\sqrt[3]{\frac{1}{8^4}}=\frac{3}{16}$$

Sumando ambas desigualdades, $$a^2+b^2+c^2+a^2c^2+a^2b^2+b^2c^2 \geq \frac{3}{4}+\frac{3}{16}=\frac{12+3}{16}=\frac{15}{16}$$