Sea $ABC$ un triángulo tal que $AB>AC>BC$. Sea $D$ un punto sobre el lado $AB$ de tal manera que $CD = BC$, y sea $M$ el punto medio del lado $AC$. Muestra que $BD = AC$ si y sólo si $\angle{BAC} = 2\angle{ABM}.$
Sea $ABC$ un triángulo tal que $AB>AC>BC$. Sea $D$ un punto sobre el lado $AB$ de tal manera que $CD = BC$, y sea $M$ el punto medio del lado $AC$. Muestra que $BD = AC$ si y sólo si $\angle{BAC} = 2\angle{ABM}.$
Enlaces:
[1] https://www.matetam.com/print/problemas/geometr/uno-si-y-s-si-escaleno#comment-2591
[2] https://www.matetam.com/problemas/geometria
[3] https://www.matetam.com/categoria/nivel/avanzado
[4] https://www.matetam.com/problemas/categoria/olimpiada-mexicana-matematicas/xxi-omm-2007
Construccion: Sea $A'$ un [1]
Construccion:
Sea $A'$ un punto sobre $BD$ tal que $A'B = DA$, y sea $T$ el punto medio de $BD$. Por ultimo Sea $S$ un punto sobre $CA$ tal que $\angle SBA=2\alpha$
Por construccion, $T$ sera punto medio de $A'A$ de donde, podremos asegurar que $TM$ es paralela a $CA'$ (por ser puntos medios), entonces por ser isoceles $MT=MA$ y que $\angle SBA=\angle BAC=2 \alpha$ De nuevo por construccion tenemos que $BS$ tambien es paralela a $AC$ y paralela a $TM$. Entonces $\angle SBM=\angle BMT$.
Finalmente, $BD=CA$ si y solo si $TB=MA$ si y solo si $TB=MT$ si y solo si $\angle BMT=\angle TBM$ si y solo si $\angle SBM =\angle ABM$ si y solo si $\angle BAC = 2 \angle ABM$
cualquier error les agradaceria que me lo dijeran
Saludos
Germán.