Sea ABCD un cuadrilátero para el cuál existen cuatro puntos P, Q, R y S sobre los lados AB, BC, CD y DA respectivamente y tales que PB=BQ, QC = CR, RD = DS y SA = AP. Demuestra que:
Enlaces:
[1] https://www.matetam.com/glosario/definicion/cuadrilatero-circunscrito
[2] https://www.matetam.com/glosario/definicion/cuadrilatero-ciclico-o-inscrito
[3] http://en.wikipedia.org/wiki/Tangential_quadrilateral
[4] http://mathworld.wolfram.com/TangentialQuadrilateral.html
[5] https://www.matetam.com/problemas/geometria
[6] https://www.matetam.com/categoria/nivel/intermedio
Este problema es para que los
Este problema es para que los novicios no se olviden de los cuadriláteros cíclicos.
Tenemos
Tenemos que;
PB=PQ=a
QC=CR=b
RD=DS=c
SA=AP=d
Para demostrar que es AB+CD=DA+BC
tenemos que AB=a+d, CD=b+c, DA=c+d BC=a+b
Entonces AB+CD= a+b+c+d y DA+BC=a+b+c+d por lo tanto AB+CD=DA+BC
y para el segundo inciso;
tenemos que:
<ASP=APS= w
<BQP=BPQ=x
<CQR=CRQ=y
<DRS=DSR=z
<DAB+2w=180
<ADC+2z=180
<DCB+2y=180
<CBA+2x=180
y tenemos que <DAB+<ADC+<DCB+<CBA=360 entonces 2(w+x+y+z)=360 y por lo tanto w+x+y+z=180
notemos que;
<RSP+w+z=180 => <RSP=x+y
<SPQ+w+x=180 => <SPQ=y+z
<PQR+x+y=180 => <PQR=w+z
<QRS+z+y=180 => <QRS=w+x
tenemos que <SPQ+SRQ=y+z+w+x=180 como estos angulos son opuestos; el cuadrilatero PQRS es ciclico
PD: Se ven lindos los globos de texto; hahEspero estar en lo correcto; creo que si; pero qizas me confundi qon tantas letras:) Saludos
Muy bien Sadhi. Eso es
Muy bien Sadhi. Eso es precisamente lo que yo tenía en mente. Pero al ver tu demostración, me vino a la mente este ejemplo:
En este ejemplo, los lados del cuadrilátero satisfacen que $AB=AD$ y que $CB=CD$. No es muy dificil de ver que se pueden encontrar puntos $P $, $ Q$, $ R$ y $ S$ sobre sus lados con las condiciones del problema. Estoy convencido de que sigue siendo cierto que el cuadrilátero PQRS es cíclico, pero aquí ya no es cierto que $ ABCD$ sea circunscrito.
Lo anterior deja claro que mi problema está mal, y también debe estar mal la demostración de Sadhi. Lo cuál me da mucha pena. Pero sugiero que aprovechemos el error para pensar en las siguientes dos preguntas que surgen de forma natural:
Espero sus comentarios.
Saludos.
P.D. Qué padre que te hayan gustado los globos.
Una duda Jesus. Yo tenia
Una duda Jesus. Yo tenia entendido que en el caso de que un cuadrilatero(como la figura que acabas de poner) si satisface que AB+CD=DA+BC, entonces si es circunscrito....pero la circunferencia por la cual pasan los lados, se obtiene al Prolongar BC y DC hasta E y F sobre AB y AD, respectivamente. asi los puntos (A,B,C,D,E,F) forman un cuadrilatero completo y la circunferencia inscrita, se encuentra tangente en la parte convexa...es decir es tangente a BC y DC en sus prolongaciones....(en la parte convexa del cuadrilatero completo)
Pues aunque sería una
Pues aunque sería una definición muy conveniente de cuadrilátero circunscrito, no se define así. Bueno, no hasta donde yo lo tengo entendido.
La razón de que no se defina así no la tengo clara, pero creo que es un estandar el dibujar la circunferencia de forma tangente al interior de los cuatro lados del cuadrilátero. Incluso, en Wikipedia [3] lo definen como cuadrilátero convexo. En Worlfram (http://mathworld.wolfram.com/TangentialQuadrilateral.html [4]) no mencionan nada pero se sobre entiende de la figura.
Personalmente creo que lo natural es definir el cuadrilátero circunscrito como el que tiene una circunferencia tangente a sus cuatro lados pero en el interior de éstos. Pues, si leemos las pruebas de que la suma de los lados opuestos de un cudrilátero circunscirto son iguales, veremos que nadie (o casi nadie) considera el caso en que el cuadrilátero no se convexo, es decir, todo mundo asume que las tangencia son internas.
No me opongo a que se defina admitiendo la tangencia en la extención de los lados. Una investigación más extensa nos podría a sacar a todos de la duda.
Saludos
Lo decia por que en el
Lo decia por que en el excalibur(la revista de Hon Kong)asi lo definen. Y lo toman como circunscrito. bueno Jesus saludos!!! no alegare eso ahahha simplemente se que en el caso de ser concavo. La circunferencia inscrita toca a dos lados en sus prolongaciones. Saludos!!!!!
esta figura muestra mejor lo
esta figura muestra mejor lo que digo...ABCD, es un cuadrilatero que satisface que AB+CD=DA+BC, y la circunferencia inscrita seria la mostrada
:O Muy Cierto; ahora veo el
:O Muy Cierto; ahora veo el erroor; si; el problema dice :un cuadrilatero; y creo deberia decir: un cuadrilatero convexo; ya que el teorema de pitot; hace referencia a que para que sea cicunscrito debe ser convexo; lo cual a simple vista es obvio; aunque si aplica que las sumas de los lados opuestos sean iguales; en fin; alrato escribo un poqo mas(: Gracias;