Demostrar cuadrado

Este problema me lo propuso anoche Fernando, y quede con el de ponerlo en MaTeTaM junto con mi solucion, asi que ahi les va..primero la figura

Consideremos el triangulo ABC, es facil demostrar que AD y CD son alturas de dicho triangulo, de ahi es claro que D es el ortocentro del triangulo. Sea M la interseccion de la recta AD con BC, y E la interseccion de la recta BD con AC, s claro que el cuadrilatero ABME es ciclico, de ahi tenemos que

$\angle{MAC}=\angle{MAE}=\angle{MBE}=\angle{MBD}$

de ahi es clara la semejanza de los triangulos BMD y AMC, ademas es facil comprobar que el triangulo DMC es un triangulo rectangulo e isoseles(posee un angulo recto y uno de 45) de ahi tenemos que  $MD=MC$ por lo que los triangulos BMD y AMC son congruentes, de ahi $AC=BD$

Sean P,Q,R,S los puntos medios de los lados AB,BC,CD,DA, respectivamente, por thales es facil probaro por varignon es facil ver que:

$PQ=RS=\frac{AC}{2}=\frac{BD}{2}=QR=SP$ de ahi el cuadrilatero PQRS es un rombo, ademas las diagonales del cuadrilatero ABCD  son perpendiculares(BD y AC) ya que D es el ortocentro del triangulo ABC, de ahi es facil ver que los angulos en PQRS son equivalentes a los que forman las rectas AC u BD....por que? de ahi PQRS es un rectangulo....pero como tambien es rombo se sigue que es cuadrado y terminamos.

Bueno espero y este algo clara, no la pude detallar mucho, por falta de tiempo, pero lo prometido es deuda, asi que subo la sol.

Luego me enseñas tu solucion Fernando, o me dices con que idea lo resolviste, Saludos!!!

El problema de la discucion de hoy!!!!!!

lo ves fernando si estaba posteado!!!!!!!!!

checa la fecha