Geometría analítica, un legado cartesiano

(Solución adaptada de www.math.ust.hk/excalibur/v5_n3.pdf [1])

Elección de ejes, inicialización y plan de la demostración

Sea $Z$ el origen de coordenadas y la recta $AD$ el eje $X$. Nota: La elección de los ejes es aquí casi obvia: la línea de centros es perpendicular a la cuerda común (teorema conocido; se deja como ejercicio para el lector).

Denotemos con $O_1, O_2$ y $r_1, r_2$ los centros y radios de los círculos de diámetros $AC$ y $BD$ respectivamente, y sean $O_1=(x_1,0), O_2=(x_2,0)$ sus coordenadas. Fijémos también las coordenadas de P: $P=(0,y_0)$.

Vamos a demostrar que si las rectas $AM$ y $XY$ concurren en $Q$ y las rectas $DN$ y $XY$ concurren en $Q'$, entonces $Q$ y $Q'$ tienen las mismas coordenadas, es decir, representan el mismo punto. Para ello primero calcularemos la pendiente de la recta $CP$ y aprovecharemos el hecho de que el ángulo $AMC$ es recto para calcular la ecuación de la recta $AM$. De manera similar se calcula la ecuación de la recta $DN$. Para calcular la ordenada de $Q$ se resuelve el sistema de las ecuaciones de $AM$ y $XY$. Análogamente se calcula $Q'$.

Vamos a necesitar las coordenadas de los puntos $A, B, C, D$. Primero calculemos las de $B$ y $C$. Notemos que la abscisa de $B$ es $BZ$ con signo negativo. Pero $BZ$ es $r_2=BZ+x_2$. De manera similar se calcula la abscisa de $C$. Por tanto: $B=(x_2-r_2,0), C=(x_1+r_1,0)$. Razonando sobre el diagrama, se obtiene (igual que para B): $A=(x_1-r_1,0), D=(x_2+r_2,0)$.

Cálculo de las ecuaciones de AM y DN (y de Q y Q')

Pendiente de CP: $m_{CP}=-y_0/(r_1-x_1)$. Por tanto, la pendiente de $AM$ es la recíproca negativa de la de $CP$ y ya podemos calcular la ecuación de $AM$ --pues tenemos las coordenadas del punto A. Se deja al lector la tarea de aplicar la fórmula de punto y pendiente para llegar a la ecuación de $AM$: $(r_1+x_1)x-y_{0}y=x_{1}^2-r_{1}^2$.

Para calcular la ordenada de la intersección de $AM$ y $XY$ basta hacer $x=0$ en esta ecuación y despejar $y$. Se concluye que $Q=(0,(r_1^2-x_1^2)/y_0)$.

Pendiente de BP: $m_{BP}=y_0/(r_2-x_2)$. De aquí que la ecuación de $DN$ se calcula así: $(x_2-r_2)/y_0=y/(x-x_2-r_2)$. Quitando denominadores se obtiene la ecuación de $DN$: $(x_2-r_2)x-y_0y=x_2^2-r_2^2$. De aquí que $Q'=(0,(r_2^2-x_2^2/y_0)$.

Ahora sólo falta observar que, por Pitágoras, las ordenadas de $Q$ y $Q'$ son iguales (al cuadrado de $ZX$). Por tanto $Q$ y $Q'$ representan el mismo punto.