El incírculo del triángulo $\triangle ABC$ es tangente al lado $AB$ en el punto $P$ y al lado $ BC $ en el punto $Q$. El círculo que pasa por los puntos $A,P,Q$ corta por segunda vez a la recta $ BC $ en $ M $ y el círculo que pasa por los puntos $C,P,Q$ corta por segunda vez a la recta $ AB $ en el punto $ N $. Demuestra que $ NM $ es tangente al incírculo de $ ABC $.
Esta es la solucion que yo di
Esta es la solucion que yo di durante la prueba.
Sea $E=AC\cap MN$, Es suficiente demostrar que $AB+EM=BM+EA$, es claro que $BP=BQ$
Usando potencia de un punto se tiene que:
$BP*BA=BQ*BM\Rightarrow BA=BM$ Igualdad 1...
$BP*BN=BQ*BC\Rightarrow BN=BC$ Igualdad 2...
De lo anterior se deduce que los triangulos $\triangle BAM$, $\triangle BNC$ son isoceles, y por consiguiente $AM$ y $NC$ son paralelas y en especial que $AMCN$ es un trapecio isoceles, lo cual implica que $\triangle EAM$ es isoceles y por consiguiente que:
$EA=EM$ Igualdad 3...
Sumando las igualdades 1 y 3 se tiene el resultado pedido.
Un problema bastante rapido y sencillo, el detalle estaba en saber demostrar que podia cumplir la recta $MN$ para que fuese tangente. A mi parecer el problema mas rapido del examen, ya que en el problema1 me costo un poco mas de redaccion.
Por cierto profesor Muñoz me
Por cierto profesor Muñoz me podria mandar una copia del examen irracional a mi correo para checarlo?
Saludos y Gracias de antemano.