El incírculo del triángulo △ABC es tangente al lado AB en el punto P y al lado BC en el punto Q. El círculo que pasa por los puntos A,P,Q corta por segunda vez a la recta BC en M y el círculo que pasa por los puntos C,P,Q corta por segunda vez a la recta AB en el punto N. Demuestra que NM es tangente al incírculo de ABC.
Esta es la solucion que yo di
Esta es la solucion que yo di durante la prueba.
Sea E=AC∩MN, Es suficiente demostrar que AB+EM=BM+EA, es claro que BP=BQ
Usando potencia de un punto se tiene que:
BP∗BA=BQ∗BM⇒BA=BM Igualdad 1...
BP∗BN=BQ∗BC⇒BN=BC Igualdad 2...
De lo anterior se deduce que los triangulos △BAM, △BNC son isoceles, y por consiguiente AM y NC son paralelas y en especial que AMCN es un trapecio isoceles, lo cual implica que △EAM es isoceles y por consiguiente que:
EA=EM Igualdad 3...
Sumando las igualdades 1 y 3 se tiene el resultado pedido.
Un problema bastante rapido y sencillo, el detalle estaba en saber demostrar que podia cumplir la recta MN para que fuese tangente. A mi parecer el problema mas rapido del examen, ya que en el problema1 me costo un poco mas de redaccion.
Por cierto profesor Muñoz me
Por cierto profesor Muñoz me podria mandar una copia del examen irracional a mi correo para checarlo?
Saludos y Gracias de antemano.