P1. Un p1 de Geo

Sea $ABCD$ un cuadrado. Sea $E$ un punto en el plano fuera de $ABCD$ de tal forma que el triángulo $AEB$ es equilatero. Los segmentos $AB$ y $EC$ se cortan en $P$. Calcula la medida de los ángulos $\angle APC$ y $\angle CEB$ para demostrar que $$\frac{\angle APC}{\angle CEB} = 7 $$

Solución

Solución: 

Note que $\angle ABC=90^\circ$ (porque $ABCD$ es un cuadrado) y $\angle ABE=60^\circ$ (porque $ABE$ es equilátero). Entonces, dado que $AB=AE=BC$, $\angle CEB =\dfrac{180^\circ -\angle EBC}{2}=15^\circ $. 

 

Por ángulos opuestos por el vértice, $\angle APC=\angle EPB$, que este ángulo es $\angle EPB = 180^\circ - \angle PEB - \angle EBP=180^\circ -60^\circ -15^\circ =105^\circ$. Con esto concluimos que:

$$\frac{\angle APC}{\angle CEB}=\frac{105^\circ}{15^\circ}=7$$