P3 OMM 1994. Bisectriz en un paralelogramo

Enviado por jmd el 10 de Julio de 2010 - 12:34.

Considere un paralelogramo $ABCD$ (con $AB$ paralela a $CD$ y $BC$ paralela a $DA$). Sobre la prolongación del lado $AB$ encuentre un punto $E$, de manera que $BE = BC$ (y con $B$ entre $A$ y $E$). Por $E$, trace una perpendicular a la línea $AB$, ésta se encontrará en un punto $F$ con la línea que pasa por $C$ y es perpendicular a la diagonal $BD$. Muestre que $AF$ divide en dos ángulos iguales al ángulo $DAB$.

Sea G el punto donde CF corta

Enviado por Usuario anónimo (no verificado) el 24 de Diciembre de 2013 - 04:06.

Sea G el punto donde CF corta a BD y sea H el punto donde la bisectriz del ángulo CBE corta a EF. Como el triángulo BEC es isósceles entonces BH es mediatriz del segmento CE y por tanto HE=HC. Es claro que el cuadrilátero BGFE es cíclico por tener 2 ángulos opuestos de 90°, de donde los ángulos CFH y ABD son iguales. Dado que HB es mediatriz de CE implica que C es la reflexión de E con respecto a BH y como el ángulo BEH es recto, tenemos que el ángulo BCH también es recto, de donde se sigue que el cuadrilátero BEHC es cíclico, por lo que el ángulo EBC es igual al ángulo FHC. Pero el ángulo EBC es igual al ángulo DAB, pues AD y BC son paralelas. Luego, los ángulos DAB y HFC son iguales y de aquí es inmediato que los triángulos ABD y HFC son semejantes (de acuerdo al criterio AA de semejanza de triángulos), por lo que HF/HC=AB/AD. Pero AD=BC=BE, ya que ABCD es paralelogramo y HC=HE ya que HB es mediatriz. De aquí que HF/HE=AB/BE Lo que implica que BH y AF sean paralelas. Entonces los ángulos EBH y BAF son iguales, por ser correspondientes y como los angulos EBC y BAD también tenemos que si a estos dos últimos restamos los dos anteriores miembro a miembro tendremos que los angulos HBC y FAD también son iguales. Pero los ángulos HBC y HBE son iguales. Finalmente, resulta que los ángulos BAF y FAD son iguales y así AF es bisectriz, como queríamos.