Sea $ABCD$ un cuadrilátero con $AD$ paralelo a $BC$, los ángulos en $A$ y $B$ rectos y tal que el ángulo $CMD$ es recto, donde $M$ es el punto medio de $AB$. Sean $K$ el pie de la perpendicular a $CD$ que pasa por $M$, $P$ el punto de intersección de $AK$ con $BD$ y $Q$ el punto de intersección de $BK$ con $AC$. Demuestra que el ángulo $AKB$ es recto y que $$\frac{KP}{PA} + \frac{KQ}{QB} = 1$$
La primera parte es sencilla
La primera parte es sencilla viendo los ciclicos y dado que $$\angle AKD + \angle BKC = \angle AMD + \angle BMC = 90º $$
De donde $\angle BKA = 90º$ por lo que $AM = MK= MB$ ahora los triangulos rectangulos $AMD$ y $MKD$ tienen la misma hipotenusa y un cateto igual por lo que $AD=DE$ de la misma manera se da que $BC = CK$.
Ahora extendemos $AK$ hasta que corte a $BC$ en un punto $T$, es obvio que $C$ es circuncentro del triangulo rectangulo $BKT$, por lo que 1) $BC = CT$. De la misma manera extendemos $BK$ hasta que corte a $AD$ en un punto $S$ por lo que 2) $AD = DS$.
Por otro lado se da la semejanza entre los triangulos $AKS$ y $TKB$ por las paralelas. Sea $x$ la proporcion entre ambos triangulos. tal que $$ 29) BK \cdot x = KS$$ y $$ 31) \frac{1}{x}\cdot AK = TK$$
Aplicando Menelao para el triangulo $BKT$ con la recta $CA$ y la igualdad en 1) se llega a que $ \frac{TA}{AK}\cdot\frac{KQ}{QB}=1$ dado que $TA=AK+KT$ y usando la igualdad en 31) se puede concluir que $$ 41) \frac{KQ}{QB} = \frac{x}{x+1}$$
De la misma manera aplicando Menelao para el triangulo $AKS$ con la recta $BD$ y usando primero la igualdad 2) y despues 29) se tendra que $$ \frac {KP}{PA} =\frac {1}{x+1}$$ usando esta ultima igualdad y en 41) el resultado es claro.
Saludos
Germán.
¡Perfecto German!, está
¡Perfecto German!, está completa la demostración hasta el último detalle.
Sólo por si te interesa encontrar otras demostraciones, la mia fue utilizando que el punto K está sobre la línea armónica (no se si se llama así) pero en un trapecio es el segmento que es paralelp a las bases y que pasa por la interesección de sus diagonales; su longitud es la razón armónica de las bases.
Saludos