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El polo de la recta que pasa por el vértice y el punto de tangencia.
Enviado por jesus el 18 de Mayo de 2009 - 18:37.
Sea $ ABC$ un triángulo y sean $ D$, $ E$ y $ F$ los puntos donde la circunferencia circunscrita es tangente al lado $ BC$, $CA$ y $ AB$. Llamemos $D'$ el punto donde la recta $EF$ corta a la recta $AB$. Demuestra que:
a) $D'$ es el conjugado armónico de $D$ con respecto al segmento $ AB$.
b) Que la recta $AD$ es la polar de $D'$ respecto al incírculo.
Brandon, ya pude probar el
Enviado por jesus el 18 de Mayo de 2009 - 18:45.
Brandon, ya pude probar el problema de Excalibur Probleam Corner 309[1] usando proyectividades y conjugados armónicos. Este resultado lo descubrí mientras buscaba dicha solución. Te lo dejo para que practiques proyectividades, conjugados armónicos y polos y polares.
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El inciso a es claro ya que
Enviado por Luis Brandon el 18 de Mayo de 2009 - 20:17.
El inciso a es claro ya que es conocido que las rectas AD, BE, CF concurren en el punto de Gergonne, de ahi por el siguiente resultado tenemos lo pedido.;
1.Sea ABC un triangulo Y X,Y,Z puntos sobre los lados BC, CA y AB sea X' la interseccion de YZ con BC, se tiene que AX, BY, CZ concurren si y solo si los puntos (B,X,C,X') son conjugados armonicos.
Para el segundo insiso hare uso del teorema de la hire para los que no lo conocen tambien lo escribo.
Teorema de La Hire; sean x, y los polares de los puntos X, Y, respectivamente. Respecto a una circunferencia C, se cumple que Y esta en x si y solo si X esta en y
Es claro que D' esta en el polar de A(es EF), por el teorema de La Hire A esta en el polar de D', pero sabemos que D esta en el polar de D', de ahi AD es polar de D' como faltaba mostrar.
Saludos Jesus, espero y este bien, saludos!!!!
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Sí está muy bien tu solución,
Enviado por jesus el 19 de Mayo de 2009 - 00:07.
Sí está muy bien tu solución, en la primera parte yo me quedaría con que es una consecuencia inmediata de Cheva y Menelao. Que por cierto, el punto de Gergonne se prueba de inmediato con Cheva.
Bueno, te comento que ya puse la solución del problema Problema de Excalibur Probleam Corner 309[1] usando únicamente proyetividades y polos y polares. Con muy pocas cuentas sale el problema.
Checalo y me dices qué te parece.
Saludos
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Ya vi tu solucion, en
Enviado por Luis Brandon el 19 de Mayo de 2009 - 08:20.
Ya vi tu solucion, en particular me gusto eso de donde proyectas D respecto a (AH,MM') y por consiguiente el resultado de que los puntos (D'NQP)son conjugados armonicos, de ahi el uso de que NP es cuerda del incirculo y como Q y D' son conjugados armonicos QD es polar de D', de ahi lo demas me vino inmediatamente a la cabeza!!(los dos ejercicios ya posteados). Eso de proyectar puntos sobre puntos que forman conjugados armonicos me parece muy bueno (solo lo he usado una vez ya que es reciente), me parecio muy buena, sobre todo por la idea de proyectar D, se podria decir que esta solucion si es un poco mas elegante, ya que los primeros resultados que usaste son claros del manejo de conjugados armonicos, y el resultado de los dos ejercicios no son dificiles de provar( incluso uno puede ser omitido el segundo ya que es el conocido).
Y en cuanto al ejercicio de la demostracion de que AD era polar de D' respecto al incirculo me parecio algo claro ya que, hasta ahora no ha habido problema de polos y polares en el que no me halla cervido La Hire(incluso lo use en el de la geometrense), y el primer resultado ya habia demostrado antes el caso general en el que las cevianas concurren.
Bueno gracias a tu solucion aprendi un nuevo truco, el de el punto en el infinito, lo e visto antes y cuando ponen los puntos a llamar conjugados armonicos entre parentesis ponen un signo de infinito. Yo cuando loo use era con un incirculo, del triangulo ABD, D,E,F los puntos de tangencia de los lados AB,BC,CA, respectivamente.
Al buscar el conjugado armonico de D respecto BC, se tenia que era un punto al infinito en el caso de que AB=AC.. Ese fue mi unico inconveniente de un principio pero despues se aclaro, y ahora veo algo parecido por segunda vez en tu solucion. Lo cual reitero me parecion muy bueno.
Por otro lado e estado buscando lo que me sugeriste de numeros complejo, que por si solos, se ven un poco inofencivos, pero al pasar a la geometria se me siguen complicando algo.
Seguire estudiando y si tienes otro problema interesante como el de los isoceles o el de excalibur(que salga sin comlejos ya que si no tardare muchisimo en resolverlo)te agradeceria que lo postearas ya que sin duda seria un exelente ejercicio. Por cierto que tan usables serian polos y polares, conjugados armonicos, pascal entre otros teoremas que no se enseñan como basicos en el nacional?Me pondre a buscar soluciones por esos caminos a los problemas diferentes de las que se han dado en los cuadernillos a ver que resulta, aunque como tu dices salen con semejanza o cosas mas elementales. Sin mas por el momento Saludos!!!!!!! y en serio gracias aprendi un uevo truco de tu solucion!!!
Brandon, ya pude probar el
Brandon, ya pude probar el problema de Excalibur Probleam Corner 309 [1] usando proyectividades y conjugados armónicos. Este resultado lo descubrí mientras buscaba dicha solución. Te lo dejo para que practiques proyectividades, conjugados armónicos y polos y polares.
El inciso a es claro ya que
El inciso a es claro ya que es conocido que las rectas AD, BE, CF concurren en el punto de Gergonne, de ahi por el siguiente resultado tenemos lo pedido.;
1.Sea ABC un triangulo Y X,Y,Z puntos sobre los lados BC, CA y AB sea X' la interseccion de YZ con BC, se tiene que AX, BY, CZ concurren si y solo si los puntos (B,X,C,X') son conjugados armonicos.
Para el segundo insiso hare uso del teorema de la hire para los que no lo conocen tambien lo escribo.
Teorema de La Hire; sean x, y los polares de los puntos X, Y, respectivamente. Respecto a una circunferencia C, se cumple que Y esta en x si y solo si X esta en y
Es claro que D' esta en el polar de A(es EF), por el teorema de La Hire A esta en el polar de D', pero sabemos que D esta en el polar de D', de ahi AD es polar de D' como faltaba mostrar.
Saludos Jesus, espero y este bien, saludos!!!!
Sí está muy bien tu solución,
Sí está muy bien tu solución, en la primera parte yo me quedaría con que es una consecuencia inmediata de Cheva y Menelao. Que por cierto, el punto de Gergonne se prueba de inmediato con Cheva.
Bueno, te comento que ya puse la solución del problema Problema de Excalibur Probleam Corner 309 [1] usando únicamente proyetividades y polos y polares. Con muy pocas cuentas sale el problema.
Checalo y me dices qué te parece.
Saludos
Ya vi tu solucion, en
Ya vi tu solucion, en particular me gusto eso de donde proyectas D respecto a (AH,MM') y por consiguiente el resultado de que los puntos (D'NQP)son conjugados armonicos, de ahi el uso de que NP es cuerda del incirculo y como Q y D' son conjugados armonicos QD es polar de D', de ahi lo demas me vino inmediatamente a la cabeza!!(los dos ejercicios ya posteados). Eso de proyectar puntos sobre puntos que forman conjugados armonicos me parece muy bueno (solo lo he usado una vez ya que es reciente), me parecio muy buena, sobre todo por la idea de proyectar D, se podria decir que esta solucion si es un poco mas elegante, ya que los primeros resultados que usaste son claros del manejo de conjugados armonicos, y el resultado de los dos ejercicios no son dificiles de provar( incluso uno puede ser omitido el segundo ya que es el conocido).
Y en cuanto al ejercicio de la demostracion de que AD era polar de D' respecto al incirculo me parecio algo claro ya que, hasta ahora no ha habido problema de polos y polares en el que no me halla cervido La Hire(incluso lo use en el de la geometrense), y el primer resultado ya habia demostrado antes el caso general en el que las cevianas concurren.
Bueno gracias a tu solucion aprendi un nuevo truco, el de el punto en el infinito, lo e visto antes y cuando ponen los puntos a llamar conjugados armonicos entre parentesis ponen un signo de infinito. Yo cuando loo use era con un incirculo, del triangulo ABD, D,E,F los puntos de tangencia de los lados AB,BC,CA, respectivamente.
Al buscar el conjugado armonico de D respecto BC, se tenia que era un punto al infinito en el caso de que AB=AC.. Ese fue mi unico inconveniente de un principio pero despues se aclaro, y ahora veo algo parecido por segunda vez en tu solucion. Lo cual reitero me parecion muy bueno.
Por otro lado e estado buscando lo que me sugeriste de numeros complejo, que por si solos, se ven un poco inofencivos, pero al pasar a la geometria se me siguen complicando algo.
Seguire estudiando y si tienes otro problema interesante como el de los isoceles o el de excalibur(que salga sin comlejos ya que si no tardare muchisimo en resolverlo)te agradeceria que lo postearas ya que sin duda seria un exelente ejercicio. Por cierto que tan usables serian polos y polares, conjugados armonicos, pascal entre otros teoremas que no se enseñan como basicos en el nacional?Me pondre a buscar soluciones por esos caminos a los problemas diferentes de las que se han dado en los cuadernillos a ver que resulta, aunque como tu dices salen con semejanza o cosas mas elementales. Sin mas por el momento Saludos!!!!!!! y en serio gracias aprendi un uevo truco de tu solucion!!!