Tesoro Pirata Disfrazado

Enviado por jmd el 1 de Enero de 2008 - 01:00.

El problema del tesoro pirata puede ser planteado de la siguiente manera. Sean dados los triángulos MPX y MRY, ambos isósceles y rectángulos en P y R respectivamente. Demostrar que la mediatriz del segmento PR pasa por el punto medio de XY.

Sugerencia

Por:

vmp

Solución

Por:

vmp

Solución:

Primero la figura:

[1]

Como MPX y MRY son isósceles rectángulos en y , respectivamente, y son diámetros de sus respectivos circuncírculos. Estos circuncírculos se cortan en y en algún otro punto . Entonces, los cuadriláteros MPXN y MRYN son cíclicos y, por tanto, sus respectivos ángulos en son rectos. De aquí que está sobre el segmento .

[2]

También por las propiedades de los cuadriláteros cíclicos, el triángulo PNR es rectángulo en . De aquí que su circuncírculo tiene centro en el punto medio de .

El circuncírculo de PNR corta en a y lo corta una segunda vez en algún otro punto, digamos en . De aquí que el cuadrilátero PNTR es cíclico.

[3]

Sea θ = 45 . Como <PNT = 3θ , entonces <PRT = θ . Y como <PNR = 2θ , entonces <PTR = 2θ . Por tanto <RPT = θ . De aquí que el triángulo PTR es rectángulo isósceles, y M’T es mediatriz de .

[4]

Para demostrar que es punto medio de , observemos primero que el segmento que une los centros O_1 y O_2 de los circuncírculos de MPX y MRY es línea media del triángulo XMY . (Vamos a demostrar que TO_2 es paralelo a XO_1 .)

[5]

Después debemos darnos cuenta que O_1O_2TN es cuadrilátero cíclico (¿Porqué?). Focalizando este cuadrilátero y tratando de demostrar paralelas, podemos observar que <XNO_1 es suplementario de <O_1NT . Entonces, <TO_2O_1 = <XNO_1 .

Pero XO_1N es isósceles. Por tanto <O_1XN = <TO_2O_1 . De aquí que O_1X || O_2T . Y como O_1O_2= XY/2 , entonces es punto medio de . Como se quería.

Geometría [6]