Trisección de un segmento y triángulos equilateros

Enviado por jesus el 18 de Octubre de 2008 - 21:03.

Sea $ ABC $ un triángulo equilatero, $ M $ el punto medio de $ BC $. Considera $ P $ y $ Q $ los dos puntos fuera del triángulo $ ABC $ tales que los triángulos $ BMP $ y $ MQC $ son equilateros. Llamemos $ S $ y $ T $ a los puntos de intersección de $ AP $ y $ AQ $ con el segmento $ BC $ respectivamente. Demuestra que $ S $ y $ T $ trisectan al segmento $ BC $.

Sugerencia

Por:

vmp

Solución

Por:

vmp

Solución:

Observemos que el segmento $ PM $ es paralelo a $ AB $, de donde por ángulos alternos internos los tríangulos $ ABS $ y $ PMS $ son semejantes. De la semejanza se sigue que:

$$ \frac{AB}{PM} = \frac{BS}{MS} $$

Pero como $ AB = BC = 2 \cdot BM = 2 \cdot PM $ se tiene que $ \frac{AB}{PM} = 2 $. En consecuencia

$$ BS = 2 \cdot MS $$

De esta última igualdad se sigue que

$$ BS = \frac{2}{3} \cdot BM = \frac{2}{3}( \frac{1}{2} \cdot BC ) = \frac{1}{3} \cdot BC $$

De manera análoga se prueba que $ TC = (1/3)BC $.

Geometría [1]
Intermedio [2]
Selectivo Final OMM-Tamaulipas 2008 [3]