El producto de los dos productos es el producto de los 6 números consecutivos y debería ser un cuadrado perfecto. Veamos si es posible un tal conjunto para una tal n.
Por la distancia máxima entre los elementos del conjunto (6), éste no debe tener múltiplos de 7 --pues, de otra manera, en el producto solamente habría un múltiplo de 7, y pertenecería a exactamente un subconjunto; por tanto dividiría solamente a uno de los productos, lo cual es una contradicción pues los productos deben ser iguales.
(Y, con mayor razón, no debe tener múltiplos de primos mayores a 7.) Por lo tanto, la condición necesaria es que ninguno de los números en el conjunto debe ser múltiplo de un primo mayor que 5. Supongamos entonces que $A$ contiene solamente múltiplos de 2, 3, o 5.
Pero de entre los 6 números hay tres impares. Y de entre estos, a lo más uno es múltiplo de 3 y a lo más uno es múltiplo de 5. Y nos queda un impar sin factores primos. Por tanto tiene que ser el 1. Entonces, sólo nos queda como candidato $A=\{1,2,3,4,5,6\}$. Pero éste tiene solamente un múltiplo de 5. Por tanto, la condición no se cumple para ningún $ n $.
Solución alternativa
Consideremos solamente los residuos de los 6 consecutivos en $A$, cuando se dividen entre 7. (Esta decisión es sugerida por la condición necesaria mencionada en la primera solución.) Como el residuo 0 no es posible, y son números consecutivos, entonces el producto de los 6 se reduce (módulo 7) a $6!$--los residuos son todos diferentes y mayores que 0. Pero, de acuerdo al teorema de Wilson, $6!\equiv-1(mod 7)$. ¿Y ahora? Bueno, ahora hay que recordar que el producto debería ser un cuadrado perfecto --dado que es el producto de los productos de los dos subconjuntos en que queremos particionar $A$ y esos productos los queremos iguales. Pero, módulo 7, los cuadrados perfectos dejan o 0 o 1 o 2 o 4 (chéquenlo), pero nunca 6. Por lo tanto, no es posible particionar el conjunto $A$ como se quería, es decir, no existe tal $ n $, ni tal conjunto.
