Sean $x,y$ enteros positivos tales que $3x^2+x=4y^2+y$. Demostrar que $x-y$ es cuadrado perfecto.
¿Qué se puede decir de $a$ y $b$ si son primos relativos y su producto es cuadrado perfecto?
En una exploración de superficie, observamos que la ecuación se puede escribir como $3x^2-3y^2+x-y=y^2$. Es decir, como $3(x-y)(x+y)+x-y=y^2$. ¿Nos sirve eso de algo?
Bueno, posiblemente si continuamos la exploración y observamos que el lado izquierdo puede factorizarse. Ello nos conduce a buscar demostrar la coprimalidad de los factores $x-y$ y $3(x+y)+1$.
Porque si fuesen coprimos podríamos concluir que cada factor es cuadrado perfecto --según un teorema conocido. Pero quizá sea mejor un cambio de variable (pues parece que la demostración de coprimalidad no es evidente en ese caso): z=x-y. Con este cambio, la ecuación queda como $z[3(z+2y)+1]=y^2$. Es decir, como $y^2-6zy-3z^2-z=0$, una cuadrática. ¿Y qué ganamos con eso? Ganamos en que podemos avanzar: el discriminante tiene que ser cuadrado perfecto. $$y=\frac{6z\pm\sqrt{36z^2+12z^2+4z}}{2}$$
$$=\frac{6z\pm\sqrt{48z^2+4z}}{2}$$ Si factorizamos el 4 dentro de la raíz y lo sacamos como 2 podemos ver que $12z^2+z=z(12z+1)$ tiene que ser cuadrado perfecto --para que la $y$ sea entero. Y aquí sí tenemos lo que buscábamos: $z$ y $12z+1$ son coprimos. De aquí que ambos deben ser cuadrados perfectos. Es decir, $z=x-y$ es cuadrado perfecto. Como se quería. Nota: Para ver la coprimalidad considere el lector que $f$ es factor común de $z$ y $12z+1$; digamos que $z=fz'$ y $12z+1=fZ'$. Entonces $12fz'+1=fZ'$, y se logra ver que $f$ divide al 1, es decir, es 1.
