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¿Combinatoria biyectiva? OK, pero ¿cómo descubres la biyección?

Enviado por jmd el 5 de Septiembre de 2008 - 01:47.

Regresemos al problema del post anterior (subconjuntos sin consecutivos):

Sea $S =\{1,2,...,n\}$. ¿De cuántas formas se puede elegir un subconjunto de tamaño $r$ y sin consecutivos?

Solución biyectiva ("descubierta" con el método regula falsi)

Sin restricciones serían $C(n,r)$. Pero algunos de esos subconjuntos tienen consecutivos. Sea $B = \{b_1,b_2,...,b_r\}$ un subconjunto de $S$ de tamaño $r$. Por ejemplo, si fuese $B = \{1,2,...,r\}$, lo podríamos convertir a $ \{1,3,5,...\}$ --que no tiene consecutivos--, lo cual equivale a dejar el primero igual, sumarle 1 al segundo, 2 al tercero, etc.Regresemos al problema del post anterior (subconjuntos sin consecutivos):

Sea $S =\{1,2,...,n\}$. ¿De cuántas formas se puede elegir un subconjunto de tamaño $r$ y sin consecutivos?

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Beneficios y costos de la abstracción matemática

Enviado por jmd el 2 de Septiembre de 2008 - 14:52.

Se tienen 7 bolas blancas y 5 negras. ¿De cuántas formas se pueden colocar las 12 en hilera sin que haya dos negras juntas?

Solución

Coloco las 5 negras. Utilizo 4 blancas para separarlas. Me quedan 3 blancas. ¿Dónde las pongo? Es decir ¿cuántas formas hay de colocarlas en la hilera de las ya colocadas? Este problema es difícil a pesar de su aparente simplicidad. Una forma de responder a la pregunta es separar en casos: coloco las tres en lugares diferentes, coloco dos juntas en un lugar y la otra en otro lugar y, finalmente, las coloco las tres en un solo lugar.

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Un ejercicio de prueba biyectiva en combinatoria

Enviado por jmd el 29 de Agosto de 2008 - 17:10.

Como se sabe, el número de elementos del producto cartesiano de dos conjuntos finitos es el producto de las cardinalidades de los conjuntos. Pero aquí vamos a exhibir una demostración de ese hecho aplicando una prueba biyectiva de $|A \times B| = |A| |B|$.

Para demostrarlo vamos a definir una función entre el producto cartesiano $A\times B$ y el conjunto de enteros $S = \{0, 1, ..., |A||B| - 1\}$.

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Arco capaz: un problema de lugar geométrico

Enviado por jmd el 21 de Agosto de 2008 - 20:07.

En este post voy a definir el problema de lugar geométrico denominado arco capaz y a discutir el procedimiento de su construcción.

El problema y su procedimiento de construcción

En el problema de lugar geométrico denominado arco capaz, se da un segmento $AB$ y un ángulo $\lambda$. Se pide describir el lugar geométrico de los puntos en el plano, desde los que el segmento $AB$ se ve desde un ángulo $\lambda$.

Para quienes tienen prisa, el procedimiento de construcción es el siguiente:

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Invariantes: un frame que permite razonar por el absurdo

Enviado por jmd el 4 de Agosto de 2008 - 13:23.

Invariantes

(Adaptado  de http://boumbo.toonywood.org/xavier/old/maths/stmalo/base-cours.pdf )

Se tiene un conjunto de configuraciones (por ejemplo, estados o posiciones en un juego). A una configuración inicial se le aplica una transformación (una jugada) sujeta a ciertas reglas (las reglas del juego) y sobre la configuración resultante se aplica otra transformación de acuerdo a las mismas reglas (el juego sigue). Se pide decidir si una cierta configuración puede o no obtenerse mediante transformaciones válidas partiendo de una configuración inicial.

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Álgebra como lenguaje (a propósito del problema de álgebra)

Enviado por jmd el 29 de Junio de 2008 - 14:46.

Introducción

En algebra se estudian expresiones algebraicas como la siguiente: $\frac{1}{x}+\frac{2}{y}=\frac{8}{2x+y}$. Pospongamos la cuestión de su significado y comentemos su uso (y su sintaxis).

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Segmentos Dirigidos

Enviado por jesus el 4 de Mayo de 2008 - 22:30.

Este concepto se oye mucho en las Olimpiadas de Matemáticas, pero --como muchos otros de olimpiada-- no es un tema que se enseñe en bachillerato. Esto puede llegar a asustar a muchos estudiantes, pero en realidad es un tema al que nada hay que temerle. Es muy fácil de entender y sobre todo es muy útil.
La idea principal de los segmento dirigidos es agregar una propiedad extra a la noción de segmento. Esta propiedad se resume así:

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Estos eran dos amigos...

Enviado por jmd el 26 de Febrero de 2008 - 02:22.

B: Ah…Mmhh… Creo que esa sí me la sé. Es base por altura. ¿Cierto?

A: ¿Pero si no te dan la altura?

B: Bueno, pues ¿qué te dan?

A: Te dan las longitudes de los lados.

B: Bueno, entonces saco la altura con el seno del ángulo ¿te dan un ángulo?

A: No.

B: Ah pues deja ver…Creo que se puede eliminar el seno utilizando la ley de cosenos… eso lo hice una vez cuando estudié la secundaria… Deja ver si me sale…

$2(ABC) = ah = absenC$ ¿OK?

A: Con $(ABC)$ estás denotando el área del triángulo $ABC$ ¿no es así?

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Diagrama de Lewis Carroll

Enviado por jmd el 13 de Agosto de 2007 - 22:41.

Es una variante del diagrama de Venn-Euler que facilita la clasificación de un universo $S$de objetos según tres atributos $a$, $b$ y $c$. La clasificación es dicotómica: cada objeto de $S$ ya sea tiene la propiedad o atributo $a$, $b$, o $c$ o bien no la tiene (esto último se representa con ¬$a$, ¬$b$, o ¬$c$).

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