Argumento de paridad: tres instancias de uso

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Voy a discutir en este post un razonamiento elemental en el campo de las matemáticas de concurso denominado argumento de paridad. Es recurrente en el problem solving de olimpiada. Se presentan las propiedades básicas de la paridad y algunas instancias de uso.

Discusión previa

Así como las personas pueden ser clasificados por su sexo (femenino/masculino), los números enteros se pueden clasificar por su paridad (par, impar).

La paridad de un entero es así una variable dicotómica: el número es par o bien no lo es (en cuyo caso se le llama impar o non). Una clasificación elemental... pero tiene sus detalles finos (esa verdad no está en los libros, sino en sus instancias de uso).

Una aplicación banal es el conocido método usado para tomar una decisión denominado pares o nones: cada uno de los dos participantes muestra uno o dos de sus dedos (índice o índice y medio), con espacio muestral $\{2,3,4\}$, de manera que la probabilidad de par es la misma que la de impar (el 3 tiene el doble de probabilidades que los otros dos resultados posibles pues 1+2=2+1=3). "Si nones, al billar; si pares, a la plaza; en cualquier otro caso, estudiamos probabilidad."

Primera instancia de uso

Los números del 1 al 10 se escriben en un renglón. ¿Es posible colocar entre ellos los signos + y - de manera que la suma sea cero? Ejemplo: con los números 1 2 3 4 es posible (1-2-3+4=0).

Solución

El problema es equivalente a encontrar una partición del conjunto $A=\{1,2,3,\ldots,10\}$ en dos subconjuntos $A_1$ y $A_2$ de manera que sus respectivos elementos sumen la misma cantidad. Esta transformación del problema reduce su solución a la solución de una ecuación diofantina: si $y$ es la suma de los elementos de cada subconjunto, entonces $2y=55$. Y se ha hecho evidente que tal partición no es posible (pues $2y$ es par, mientras que 55 es impar).

Solución alternativa

Consideremos el problema en el contexto de un juego en el que su estado inicial sea la asignación de signos + a cada uno de los números ($1+2+3+\ldots+10=55$) y las jugadas sean cambiar de signo a uno de los números --tratando de llegar después de varias jugadas al estado final en que la suma sea nula. Por ejemplo, si le cambiamos de signo al 10 se obtiene $1+2+3+4+5+6+7+8+9-10=35$.

La clave de la solución es darse cuenta de que en cada jugada se le resta a la suma actual el doble del número que cambia de signo (o se le suma si el signo cambia de menos a más). Porque una movida en una suma que resulta en $S$ equivale a dos más elementales: eliminar el número de la suma (con lo cual queda $S-i$) y después volverlo a poner pero con signo menos (resultando $S-i-i$) --esto en el caso de que el número $i$ estaba con signo +.

¿Y qué pasa --en términos de paridad-- cundo restamos un par de otro número? Lo que sucede es que la paridad de la diferencia permanece invariante: si el número era impar permanece impar, si era par permanece par.

El argumento cerraría así: iniciando todos con signo +, la suma es 55; así que restando o sumando pares no se puede llegar al cero --que es par. La respuesta es entonces: no es posible colocar los signos de + o - entre los números del 1 al 10 dispuestos en un renglón y obtener como suma el cero.

Segunda instancia de uso

Los números del 1 al 2010 se escriben en un gran pizarrón. Los alumnos, por turnos, hacen la siguiente jugada: escoger dos números escritos en el pizarrón, borralos y escribir su diferencia (positiva). Después de muchas movidas queda en el pizarrón un solo número. ¿Podría ser el cero?

Solución

No es muy difícil darse cuenta que este problema es equivalente a intercalar signos de + o - entre números escritos en un renglón. Sólo que en éste, cada vez que asignamos un signo menos, al mismo tiempo ejecutamos la operación de resta. Y se puede argumentar de la misma manera: lo que se mantiene invariante es la paridad de suma de los números escritos en el pizarrón --porque al elegir $i,j$, borrarlos y escribir $|j-i|$, la suma anterior queda disminuida en $2i$. (Se deja a cargo del lector completar el argumento.)

Tercera instancia de uso

Considere los números $1,2,\ldots,n$ y una permutación cualquiera $a_1,a_2,\ldots,a_n$ de ellos. Demostrar que si $n$ es impar, entonces el producto $(a_1-1)(a_2-2)\ldots(a_n-n)$ es par.

Solución

La clave de la solución está escondida en la suma de los factores (que es cero y, por tanto, par). ¿Y qué se infiere de una suma par de un número impar de sumandos? Se infiere que no todos los sumandos pueden ser impares. De ahí el resultado.

Demostración alternativa

Por contraposición, el resultado se hace evidente: si el producto fuese impar, entonces todos sus factores serían impares; de ahí que la suma de esos factores, al ser nula, no puede tener un número impar de sumandos. Es decir, $n$ es un número par.

El telón de fondo teórico --de la paridad

Generalmente se aprende en la práctica del problem solving, pero puede ser de alguna utilidad enumerar dos o tres hechos básicos sobre las propiedades de la paridad.

Empecemos con una formalidad aparentemente trivial, pero muy útil a la hora de las demostraciones: ¿cómo se expresa el hecho de que un número es par?

Bueno, por definición, es par todo entero $n$ que es el doble de otro. Y esto se expresa así: $n=2k$. Y los impares $m$ son los que están entre dos pares: $m=2r-1$ o $m=2r+1$.

1. Paridad de un producto: es par si, y sólo si, alguno de sus factores es par; de otra manera es impar.
Nota: equivale a la definición , pero hay que usarlo en la práctica (el significado está en el uso --el autor haría bien en leer de nuevo la demostración por contraposición de la tercera instancia de uso).

2. Paridad de una suma: depende de la paridad del número de sumandos y de la paridad de éstos.

  • si todos los sumandos son pares, entonces la suma es par (sin importar el número de sumandos)
  • si todos los sumandos son impares, entonces la suma y el número de sumandos tienen la misma paridad
  • si los sumandos son de distinta paridad, entonces la paridad de la suma es la paridad del número de sumandos impares.

3. Demostraciones de las 3 propiedades (de la paridad de una suma)

  • $2a_1+2a_2+\ldots+2a_n=2(a_1+a_2+\ldots+a_n)$
  • $2a_1+1+2a_2+1+\ldots+2a_{2n}+1=2(a_1+a_2+\ldots+a_{2n})+2n$ ($2a_1+1+2a_2+1+\ldots+2a_{2n+1}+1=2(a_1+a_2+\ldots+a_{2n+1})+2n+1$)
  • es consecuencia de las dos primeras --y se deja al lector

Epílogo

El argumento de paridad se usa con frecuencia para demostrar que algo no es posible y, también con frecuencia, el argumento va acompañado de una propiedad invariante a las operaciones permitidas (jugadas o movidas) --la cual hay que descubrir.

Los saluda
jmd