En un post anterior se plantearon dos problemas de construcción para ilustrar el poder de la homotecia en el problem solving de geometría. Aquí voy a resolverlos y a comentarlos, dado que --según creo-- merecen un post aparte. ("A: ¿Quieres decir que a la homotecia se le cocina aparte?" "JMD: Bueno, creo que lo que quiero decir es que el chiste no está en la homotecia misma, sino en saberla menear.")
Primer problema
Sea dado un ángulo y un punto en su interior. Construir una circunferencia tangente a los lados del ángulo y que pase por el punto.
Solución y discusión del primer problema
La circunferencia buscada tiene su centro en la bisectriz del ángulo y es tangente a los lados de éste.
Con Geogebra podemos trazar una circunferencia cualquiera con estas características y arrastrar su centro sobre la bisectriz hasta que la circunferencia contenga el punto dado. (Nótese que, al permanecer tangente a los lados, la circunferencia cambia su radio durante el arrastre.)
Claramente el problema admite dos soluciones: el punto dado puede quedar en el arco de circunferencia más cercano al vértice del ángulo o en el más lejano.
Falta entonces encontrar una forma de ubicar el centro de la circunferencia en relación al punto dado estando éste sobre la circunferencia.
Si tenemos disponible en nuestra mente el concepto de homotecia, entonces debería ser claro que el punto dado --llamémosle $P$-- está sobre un rayo que parte del vértice del ángulo --llamémosle $O$.
Entonces, al dibujar una circunferencia cualquiera tangente a los lados del ángulo, sus intersecciones con ese rayo se pueden interpretar como las huellas que dejó $P$ cuando la circunferencia pasaba por $P$. Considerando solamente la intersección $P'$ más cercana al vértice, se dice que $P$ y $P'$ son homotéticos.
Esta idea ubica el centro de la circunferencia buscada respecto al punto dado $P$. Pues trazando el segmento $P'C'$ y después una paralela a éste por $P$, el punto $C$ de corte con la bisectriz permite dibujar el triángulo $OPC$, el cual es semejante al triángulo $OP'C'$ --por construcción y estar ambos en posición de Tales.
Para todo propósito práctico del problem solving de concurso, el centro de la circunferencia buscada es el punto $C$ construido como se explica arriba y el problema queda resuelto. Desde el punto de vista teórico, sin embargo, faltaría demostrar el teorema que asegura que cualesquiera dos circunferencias son homotéticas con centro de homotecia en la intersección de sus tangentes comunes.
El procedimiento de construcción con regla y compás es el siguiente:
--Trazar la bisectriz del ángulo;
--dibujar una circunferencia generadora cualquiera tangente a los lados del ángulo (nombrar $C'$ a su centro);
trazar el rayo que parte del vértice y pasa por el punto dado $P$;
--ubicar $P'$ y $P''$ en la intersección de ese rayo con la circunferencia ya dibujada;
--trazar el radio $P'C'$ (para la otra circunferencia se procede de manera similar empezando aquí con el trazo de $P''C'$);
--trazar paralela a $P'C'$ por $P$ y nombrar con $C$ su intersección con la bisectriz del ángulo;
--$C$ es el centro de la circunferencia buscada y $CP$ es su radio.
Conviene destacar el método: se construye una figura que cumple todas las condiciones, excepto una de ellas; la condición ausente se logra entonces cumplir mediante homotecia.
Variante del cuadrado de Polya
En el problema del cuadrado de Polya se pide inscribir un cuadrado en un triángulo, con un lado en $BC$ y los otros dos vértices en $AB$ y $AC$, uno en cada uno.
Y el modo natural de abordarlo y resolverlo es con homotecia. Quiero decir, natural en el sentido de que la idea de la solución se haga presente de manera relativamente directa después de un análisis previo de los datos... si es que el concepto de homotecia es parte del bagaje herramental del cognizador.
Después de leer el enunciado y suponiendo resuelto el problema, es posible bosquejar el cuadrado inscrito. La parte superior de la siguiente figura sería el resultado de ese análisis previo. (Notemos que si, como en la figura, el triángulo fuese isósceles rectángulo en $A$ el problema carecería de interés.)
La evocación de la homotecia como un posible método de solución derivaría de la observación de que, desde el centro $A$, $K$ se transforma en $B$ y $L$ en $C$. Y, de manera natural, debe surgir la idea de que si dibujo el cuadrado de la parte inferior de la figura, el vértice $D$ debe ser la imagen homotética del vértice $M$.
Entonces, trazando el segmento $AD$, su intersección con $BC$ ubica $M$ y tenemos una solución alternativa al problema del cuadrado de Polya --independientemente de la medida del ángulo $A$. (Notemos, de paso, que si uno de los ángulos en la base $BC$ fuese obtuso, el problema no tiene solución.)
Ahora supongamos que los datos se reducen al segmento $BC$, al punto $M$ en él, y a que el triángulo es rectángulo en $A$ --el cual, por otro lado, es un vértice ausente y la incógnita. ¿Se puede reconstruir el triángulo?
Segundo problema
En un triángulo $ABC$ rectángulo en $A$, está inscrito un cuadrado $KLMN$ con el lado $MN$ en la hipotenusa $BC$ y los otros dos vértices en los lados $AB$ y $AC$. Si solamente fueran dados el segmento $BC$ y el punto $M$ ¿se puede reconstruir la figura? (Decir cómo.)
Solución y discusión del segundo problema
Como ya hemos dicho, el vértice $A$ está sobre la recta $MD$. Pero... ¿dónde exactamente? Claramente nos falta una condición para ubicarlo. Y ésta debe estar en los datos o, mejor dicho, debe poder deducirse de ellos.
El dato clave es "rectángulo en $A$". Porque entonces, el vértice $A$ debe estar en la circunferencia de diámetro $BC$. ¿Obvio? Sí, pero solamente después de que lo descubrimos...
La reconstrucción del triángulo se realiza mediante el siguiente procedimiento:
--Trazar el cuadrado $BCDE$ en la base $BC$;
--trazar la circunferencia de diámetro $BC$;
--trazar la recta $DM$;
--el vértice $A$ es la intersección de $DM$ con la semicircunferencia de diámetro $BC$ en el lado opuesto de $BC$.
(Notemos que este problema consiste en encontrar el centro de homotecia --el punto $A$.)
Los saluda
jmd