Sean $l$ una recta cualquiera en el plano cartesiano y $A=(x_1,y_1)$ un punto sobre ella. Como la recta se define a través de su pendiente, se tiene que considerar el caso especial en que la pendiente no está definida por la división entre cero (caso de la recta vértical). Así pues:
Si la recta $l$ es vertical, es decir, paralela al eje $y$ de ordenadas, entonces un punto $P=(x,y)$ en el plano está sobre la recta si y sólo si $x=x_1$. Por consecuencia, la ecuación $x=x_1$ describe algebraicamente la recta vertical que pasa por el punto $A=(x_1,y_1)$ y se dice que es su ecuación. En resumen, si la recta $l$ es vertical y pasa por el punto $A=(x_1,y_1)$, entonces su ecuación es $x=x_1$.
Por otro lado, si la recta $l$ no es vertical, entonces tiene una pendiente $m$. En ese caso, un punto $P=(x,y)$ diferente de $A=x_1,y_1)$ está sobre la recta $l$ si y sólo si la pendiente de $AP$ es $m$, es decir, si y sólo si $m=\frac{y-y_1}{x-x_1}$ o sea $y-y_1=m(x-x_1)$.
Como la ecuación $y-y_1=m(x-x_1)$ también se satisface con las coordenadas del punto $A=(x_1,y_1)$, entonces se satisface por todos los puntos de la recta $l$. Por tanto, la ecuación $y-y_1=m(x-x_1)$ describe algebraicamente la recta $l$ no vertical con pendiente $m$ y que pasa por $A=(x_1,y_1)$ y se dice que es su ecuación.
En resumen, la ecuación de la recta $l$ con pendiente $m$ y que pasa por $A=(x_1,y_1)$ es $y-y_1=m(x-x_1)$.
Resumen de la ecuación de la recta: Si $l$ es vertical y pasa por $(x_1,y_1)$, entonces su ecuación es $x=x_1$De otra manera, si $l$ tiene pendiente $m$ y pasa por $(x_1,y_1)$, entonces su ecuación es $y-y_1=m(x-x_1)$
Relaciones entre dos rectas:rectas paralelas y no paralelas
Dadas dos rectas en el plano, puede suceder que se trate de la misma recta (en cuyo caso se dice que coinciden) o bien son rectas distintas. Si son distintas entonces o bien se cortan en un único punto $P$ o bien no se cortan (en cuyo caso se dice que son paralelas).
Si dos rectas se cortan entonces el punto en que se cortan (llamado punto de intersección) está en ambas rectas. Desde el punto de vista de la geometría analítica, el punto de intersección satisface las ecuaciones de ambas rectas. Para encontrarlo basta resolver el sistema de ecuaciones formado por las dos rectas.
De acuerdo a lo dicho arriba, al resolver el sistema de ecuaciones se puede esperar que el sistema tenga una solución o bien no tenga ninguna (en cuyo caso las rectas son paralelas). Si el sistema tiene una solución, entonces o bien la solución es única (y hemos encontrado el punto de intesección de las dos rectas) o bien no es única (en cuyo caso las rectas coinciden)--cada punto que satisface una de ellas, satisface también a la otra.
Rectas perpendiculares
Un caso especial de rectas no paralelas (muy importante para el problem solving en geometría analítica) son las rectas perpendiculares, es decir, que se cortan en ángulo recto. Vamos enseguida a discutir una relación clave entre las pendientes de dos rectas perpendiculares.
Sean $l_1$ y $l_2$ dos rectas perpendiculares con pendientes $m_1$ y $m_2$, respectivamente, y consideremos las rectas $l_1'$ y $l_2'$ paralelas, respectivamente, a $l_1$ y $l_2$ pero pasando por el origen. Entonces, las ecuaciones de $l_1'$ y $l_2'$ son
$$y=m_1x$$
$$y=m_2x$$
Debería ser claro que $P=(1,m_1)$ pertenece a $l_1'$ y $Q=(1,m_2)$ pertenece a $l_2'$. Y como, por hipótesis, $l_1'$ y $l_2'$ son perpendiculares, entonces tenemos un triángulo $OPQ$ rectángulo en el origen $O$ y podemos aplicar Pitágoras:
-$$d^2(O,P)+d^2(O,Q)=d^2(P,Q)$$
$$1+m_1^2+1+m_2^2=(1-1)^2+(m_2-m_1)^2$$
$$m_1m_2=-1$$
Recíprocamente, si las pendientes de las dos rectas cumplen la condición de ser recíprocas y de signos contrarios entonces, transladando las rectas al origen y definiendo $P$ y $Q$ como antes, las transformaciones algebraicas se pueden revertir y se llega a que el triángulo $OPQ$ cumple el teorema de Pitágoras, es decir, las rectas son perpendiculares.
En resumen, dos rectas de pendientes $m_1$ y $m_2$ son perpendiculares si y sólo si $m_1m_2=-1$, es decir si y sólo si sus pendientes son recíprocas y de signo contrario.
Lugares geométricos
Cuando enunciamos una proposición $p$ sobre las condiciones (propiedades) que un conjunto de puntos debe cumplir (satisfacer), estamos definiendo un lugar geométrico. En otras palabras, un lugar geométrico en el plano es el conjunto de puntos que satisfacen una o más condiciones. Ejemplo: el conjunto de puntos en el plano a una distancia $r$ de un punto fijo $O$. Otra forma de ver el lugar geométrico es como la trayectoria que describe un punto en el plano que se mueve cumpliendo una condición dada.
La recta se puede ver como un lugar geométrico: la recta de pendiente $m$ por el punto $A=(x_1,y_1)$, es el lugar geométrico de los puntos $P=(x,y_2)$ tales que la pendiente del segmento $AP$ es $m$. (De nuevo, el caso de la recta vertical debe considerarse aparte.)
Uno de los lugares geométricos más conocidos y útiles para el problem solving es la circunferencia.
La circunferencia es el conjunto de puntos que están a una distancia $r$ (el radio) de un punto fijo $C$ (el centro).
La ecuación de la circunferencia es fácil de deducir a partir de esta definición (aplicando la fórmula de distancia entre dos puntos).
Si $C=(h,k)$ entonces la ecuación de la circunferencia de centro $C$ y radio $r$ es: $$(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$$
Dos problemas ilustrativos
Problema 1: Sean $A$ y $B$ dos puntos diametralmente opuestos de una circunferencia y P un punto sobre ella distinto de $A$ y de $B$. Demostrar que $AP$ y $BP$ son perpendiculares.
Solución
Uno de los detalles finos del uso de la geometría analítica para demostrar teoremas geométricos es la elección de los ejes. Tomemos, en este caso, al diámetro $AB=2r$ como eje $x$ y al centro $C$ de la circunferencia como origen de coordenadas. Tenemos que demostrar que las pendientes de $AP$ y $BP$ son recíprocas y de signo contrario.
De acuerdo a la elección de los ejes, $A=(-r,0), B=(r,0)$. Sea entonces $P=(x,y)$ sobre la circunferencia. En consecuencia, la pendiente de $AP$ es $m_1=\frac{y-0}{x+r}$ y la de $BP$ es $m_2= \frac{y-0}{x-r}$. De aquí que su producto sea:
$$\frac{y^2}{x^2-r^2}=-1$$ (pues, al estar $P=(x,y)$ sobre la circunferencia, satisface su ecuación, es decir, $y^2=r^2-x^2$).
Problema 2: Las alturas del triángulo concurren
Solución
Tomemos el lado $AB$ como eje $x$ y al pie de la perpendicular a $AB$ bajada desde $C$ como origen de coordenadas. Sean entonces $A=(-a,0), B=(b,0), C(0,c)$. La ecuación de la recta $AC$ es entonces $\frac{y-c}{x}=\frac{y-c}{x}=\frac{c}{a}$ y la de $BC$ es $\frac{y-c}{x}=\frac{-a}{b}$.
De aquí que las alturas desde $AC$ y $BC$, respectivamente, tengan ecuaciones $\frac{-a}{c}=\frac{y}{x-b}$ y $\frac{b}{c}=\frac{y}{x+a}$ y se comprueba fácilmente que ambas alturas se cortan sobre el eje $y$ (en la ordenada $\frac{ab}{c}$). Pero el eje $y$ es la tercera altura. En consecuencia, las tres concurren.
Los saluda
jmd
Ver también:
Pendiente de una recta
Ver también:
Teorema de Pitágoras