P6 OMM 2000. Configuración sobre un triángulo obtusángulo

A pesar de ser el difícil del concurso nacional del año 2000, el problema parece fácil, pues es posible una abundante cacería de ángulos gracias al dato de las paralelas y el isósceles.

Pero la verdadera dificultad es construir el plan de demostración. Porque, suponiendo que se encontró el plan (no tan obvio, pero sugerido por la pregunta) de demostrar semejanza de los triángulos $CFB$ y $CDA$, este plan resulta falso al llegar al callejón sin salida de tratar de probar la congruencia de los ángulos $BFC$ y $CDA$.

Para cambiar de plan (BGC y ABC son semejantes), es necesario recordar un teorema poco conocido sobre medianas. Prolongando BF hasta cortar en G a CA, es fácil observar que CF es mediana al lado BG del triángulo BCG. Y también es fácil observar que CD es mediana al lado AB del triángulo ABC. Pero ¿cómo pasas de ahí a la igualdad requerida de los ángulos?

Para ver la igualdad es necesario recordar la relación de la semejanza de dos triángulos y el teorema de Tales. En algunos textos se demuestra el teorema de que dos triángulos son semejantes si y sólo si se pueden poner en posición de Tales, en otros textos esta afirmación se da como definición de semejanza.

Pero si recordamos la definición de semejanza en términos de la igualdad de los ángulos correspondientes, es fácil ver que dos triángulos semejantes siempre se pueden poner en posición de Tales.

El hecho es que, en el contexto de este problema, es muy difícil traer a presencia esta relación de la semejanza con Tales. Es muy difícil ver que los triángulos semejantes BGC y ABC pueden ponerse en posición de Tales para después concluir que las medianas a los lados correspondientes BG y AB deben coincidir en la posición de Tales --con lo cual ya se puede llegar a que esas medianas forman ángulos iguales con los lados CB y CA, correspondientes en la semejanza. (Hay que decir, que no es totalmente obvio que las medianas correspondientes deban coincidir en la posición de Tales.)

Por otro lado, la enunciación de esa propiedad de las medianas --sin mencionar la posición de Tales-- es bastante complicada . Sería más o menos así: en una semejanza de dos triángulos ABC y A'B'C' las medianas m y m' a los lados BC y B'C' en sus respectivos triángulos, forman ángulos congruentes con los lados AC y A'C'...

O bien, al costo de perder precisión:  en una semejanza, los ángulos que se forman por lados correspondientes y medianas correspondientes son iguales... (se deja como ejercicio de redacción para el cibernauta el lograr un enunciado de la propiedad de las medianas usado en la solución del problema...)

Los saluda