Un problema de velocidades realmente difícil

Enviado por jmd el 5 de Marzo de 2011 - 22:16.

Un tren de pasajeros parte de la estación $A$ hacia la $B$ a las 13 horas. Después de 6 horas de viaje, el tren se detiene durante 2 horas debido a la acumulación de nieve en la vía. Después de esas 2 horas, el tren prosigue su viaje hacia la estación $B$, pero ahora con una velocidad 20 porciento mayor que la que mantuvo antes (la velocidad normal). Aún así, llegó a la estación $B$ con una hora de retraso. Al día siguiente, otro tren sale de la estación $A$ hacia la $B$ a las 13 horas y también tuvo que parar durante 2 horas, pero en un punto alejado de $A$ 150 km más que donde paró el primer tren. El resto del trayecto, este segundo tren lo recorrió a una velocidad 20 porciento mayor que la mantenida antes (la normal). Aún así solamente recuperó media hora del tiempo perdido. ¿Cuál es la distancia entre $A$ y $B$?

Sugerencia

Por:

jmd

Sugerencia:

Plantea las ecuaciones adecuadas para ambos trenes.

Solución

Por:

jmd

Fecha:

5 Mar 2011

Solución:

Sea $v$ la velocidad normal del tren, $T$ el tiempo normal de viaje de $A$ a $B$ y $P$ el punto en que se detiene el primer tren. Entonces, $AB=6v+1.2vt$, donde $t$ es el tiempo de viaje desde $P$ a $B$, a velocidad $1.2v$.

Ahora bien, el tren llega a $B$ con solamente una hora de retraso. Esto significa que, si no se hubiera detenido, de $P$ a $B$ tardaría 1 hora menos que el tiempo normal, yendo a velocidad $1.2v$.

Por tanto, $T=6+t+1=t+7$. De aquí que $t=T-7$. Esto nos permite sustituir $t$ en la ecuación inicial $AB=6v+1.2vt$:

$$AB=6v+1.2vt=v[6+1.2(T-7)]=v[6+1.2T-8.4]=v(1.2T-2.4)=1.2v(T-2)$$

Dado que la fórmula de distancia es velocidad por tiempo, este resultado significa que si el tren hubiese viajado todo el trayecto a velocidad de $1.2v$, entonces habría tardado 2 horas menos que a la velocidad normal. (Esto también se puede ver planteando la ecuación de tiempos en términos de distancias y velocidades y sustituyendo $v=AP/6$, lo cual deja a la ecuación en términso de puras distancias.)

Ahora examinemos el primer tramo $AP$:

$$AP=6v=1.2(5)v=5(1.2v)$$

Pero entonces, si el tren hubiese viajado a $1.2v$ en el primer tramo $AP$, habría tardado una hora menos. Se concluye que el primer tramo $AP$ es la mitad del trayecto total $AB$. De aquí que 6 horas es la mitad del tiempo normal de viaje $T$. Es decir, $T=12$ horas.

Ahora analicemos el segundo tren. Debería ser claro que, al haber recuperado solamente media hora, el segundo tren llega a $B$ con hora y

media de retraso. De aquí que (ahora aplicando otra perspectiva):

$$T+1.5=6+2+150/v+(PB-150)/(1.2v)$$

$$AB/v+1.5=8+150/v+PB/(1.2v)-150/(1.2v)$$

$$2PB/v=6.5+150/v+PB/(1.2v)-150/(1.2v)$$

Pero $v=PB/6$. Por tanto (sustituyendo y simplificando):

$$12=6.5+900/PB+5-750/PB$$

$$0.5=150/PB$$

$$PB=300$$

De aquí que la respuesta sea: la distancia entre las estaciones $A$ y $B$ es de 600 km.

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