Cuadrícula n por 4 (P4)

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 Sea $n$ un entero positivo. En una cuadrícula $ n\times 4 $, cada renglón es igual a

2 0 1 0

Un cambio es tomar tres casillas

  1. consecutivas en el mismo renglón y
  2. con dígitos distintos escritos en ellas

y cambiar los tres dígitos de estas casillas de la siguiente manera

0 → 1,         1 → 2,        2→0

Por ejemplo, un renglón  2 | 0 | 1| 0  puede cambiar al renglón   0 | 1 | 2| 0  pero no al renglón   2 | 1 | 2| 1  pues 0,1 y 0 no son distintos entre sí.
    
Los cambios se pueden aplicar cuantas veces se quiera, aún en renglones ya cambiados. Muestra que para $ n<12 $ no es posible hacer un número finito de cambios de forma que la suma de los números en cada una de las cuatro columnas sea la misma.




Imagen de iwakura_isa

Supongamos que la suma de las

Supongamos que la suma de las cuatro columnas es la misma.

Es fácil ver todos los posibles cambios,  tenemos que cada renglón solamente puede ser:

$2010,0120,1200,0201,0012$

Tenemos que entonces cada renglón suma $3$, por lo que la suma total de las casillas es $3n$. Además sea $k$ la suma de una columna, tenemos que $3n=4k$ y como $(3,4)=1$ entonces $4|n$

Ahora nos fijamos que independientemente del cambio que se haga en un renglón, siempre afectamos las dos casillas de en medio. Por como se hacen los cambios, tenemos que hacer un cambio al renglón es lo mismo que sumarle $1$ y luego hacer módulo $3$ a las dos casillas de en medio.

Sea $r_i$ el número de cambios del renglón $i$, tenemos que la segunda casilla va a ser igual a $r_i \pmod{3}$ y la tercera casilla va a ser $r_i +1 \pmod{3}$.

Si todas las columnas son iguales tenemos que en particular, la segunda y la tercera columna son iguales. Por lo que $$r_1+r_2+\cdots+r_n \equiv r_1+r_2+\cdots+r_n+n \pmod{3}$$

Por lo tanto $n \equiv 0 \pmod 3$. Como $n$ tiene que ser múltiplo de $3$ y múltiplo de $4$ entonces tiene que ser múltiplo de $12$. Lo cual implica que $12 \leq n$ lo cual es una contradicción, y por lo tanto las columnas no pueden ser iguales. 

Imagen de iwakura_isa

 Tambien se puede acabar con

 Tambien se puede acabar con talacha, la cual no voy a escribir :P

Si descubres que $4|n$ puedes hacer los casos $n=4,n=8$ y acabar lo cual se logra fijandose cuanto tienen que sumar las columnas, y haciendo muchos casitos. Similar si descubres que $3|n$, y haces $n=3,n=6,n=9$.

Imagen de jesus

Muchas gracias por

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Muchas gracias por compartirnos tu solución, no he tenido tiempo de revisar todas las demostraciones que has escrito en MaTeTaM, pero en la semana estaré revisándolas. Las voy a tomar como base para escribirlas en la sección de solución. Con tu permiso, sólo cambiaré unos errores de dedo. Por ejemplo, cambiaré cosas como renglón por columna.

Saludos

Imagen de iwakura_isa

 Claro que si, despues de

 Claro que si, despues de todo es facil confudirse entre tanto renglon y columna :P