¿Cuadrado perfecto? ¡Manipulación algebraica!

En una exploración de superficie, observamos que la ecuación se puede escribir como . Es decir, como . ¿Nos sirve eso de algo?

Bueno, posiblemente si continuamos la exploración y observamos que el lado izquierdo puede factorizarse. Ello nos conduce a buscar demostrar la coprimalidad de los factores y .

Porque si fuesen coprimos podríamos concluir que cada factor es cuadrado perfecto --según un teorema conocido.

Pero quizá sea mejor un cambio de variable (pues parece que la demostración de coprimalidad no es evidente en ese caso): z=x-y. Con este cambio, la ecuación queda como . Es decir, como , una cuadrática. ¿Y qué ganamos con eso? Ganamos en que podemos avanzar: el discriminante tiene que ser cuadrado perfecto.

Si factorizamos el 4 dentro de la raíz y lo sacamos como 2 podemos ver que tiene que ser cuadrado perfecto --para que
la sea entero. Y aquí sí tenemos lo que buscábamos: y son coprimos. De aquí que ambos deben ser cuadrados perfectos. Es decir, es cuadrado perfecto. Como se quería.

Nota: Para ver la coprimalidad considere el lector que es factor común de y ; digamos que y . Entonces , y se logra ver que divide al 1, es decir, es 1.