Suma de potencias múltiplo de 100

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Muestre que $100$ divide a la suma de potencias $$1+11^{11}+111^{111}+\ldots+1111111111^{1111111111}$$




Imagen de jmd

Excelente y original la

Excelente y original la solución de Arbiter.  Sin temor a la talacha busca el 1 y después descubre que las potencias son de la forma $10k+1$, lo cual combinado con el 1 le da la solución en tres patadas.

Los saluda

Imagen de iwakura_isa

Otra forma de llegar a que

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Otra forma de llegar a que $11^{10} \equiv 1 \pmod{100}$ es con el teorema del binomio.

$$(10+1)^{11}\equiv 10^{11}+ \binom{11}{1}10^{10} + \dots + \binom{11}{10}10 + 1 \pmod{100}$$

Como cada uno de $10^{11},10^{10},10^9,\dots , 10^2$ es divisible entre 100 entonces

$$(10+1)^{11} \equiv 110 + 1 \equiv 11 \pmod{100}$$

Y como $\text{mcd}(100,11)=1$ entonces podemos cancelar un $11$ de ambos lados de la congruencia.

$$11^{10}\equiv 1 \pmod{100}$$ y se sigue como en la otra solucion.

Imagen de jesus

Muy buen solución, con un

Muy buen solución, con un excelente manejo de las congruencias.