Los problemas de la XXVII OIM (Cochabamba 2012)

Como se sabe, la Olimpiada Iberoamericana de Matemáticas se realizó esta semana en Cochabamba.  Enseguida presento los problemas tomados del facebook de la OMM  (de una comunicación de Amanda Rhoton). 

Equiláteros en un rectángulo

1. Sea $ABCD$ un rectángulo. Se construyen triángulos equiláteros $BCX$ y $DCY$  de modo que estos triángulos comparten algunos de sus puntos interiores con los puntos interiores del rectángulo. Las rectas $AX$  y $CD$ se cortan en  $P$, y las rectas $AY$ y $BC$ se cortan en $Q$. Probar que el triángulo $APQ$ es equilátero.

http://www.jt.ues.edu.sv/foro/viewtopic.php?f=15&t=107

Enteros brillantes

2. Decimos que un entero positivo es brillante si puede ser escrito como la suma de dos enteros no necesariamente distintos $a$ y $b$ con la misma suma de dígitos. Por ejemplo, 2012 es brillante ya que 2012=2005+7 y 2005 y 7 tienen la misma suma de dígitos. Determinar todos los enteros positivos que no son brillantes.

http://www.jt.ues.edu.sv/foro/viewtopic.php?f=16&t=108

Conjuntos n-completos

3. Sea $n$ un entero positivo. Dado un conjunto de enteros $\{a_1,a_2,\ldots,a_n\}$, donde $a_i\in\{0,1,2\ldots,2^n\}$ para todo $i$, asociamos a cada uno de sus subconjuntos la suma de sus elementos; en el caso particular del conjunto vacío dicha suma es $0$. Decimos que $\{a_1,a_2,\ldots,a_n\}$ es  $n$-completo si todas estas sumas son diferentes módulo $2^n$. Determinar el número de conjuntos  $n$-completos en función de $n$.

http://www.jt.ues.edu.sv/foro/viewtopic.php?f=14&t=109

Si divide a ... entonces divide a...

4. Sean $a,b,c,d$ enteros tales que $a-b+c-d$ es impar y divide a $a^2-b^2+c^2-d^2$. Probar que para todo entero positivo $n$,$a-b+c-d$  divide a $a^n-b^n+c^n-d^n$.

http://www.jt.ues.edu.sv/foro/viewtopic.php?f=16&t=114

Demostrar isósceles

5. En un triángulo $ABC$, sean $P$ y $Q$ las intersecciones de la paralela a $BC$  por $A$ con las bisectrices exteriores de los ángulos $B$ y $C$, respectivamente. La perpendicular a $BP$  por $P$ y la perpendicular a $CQ$  por $Q$  se cortan en $R$. Si $I$ es el incentro de $ABC$, demostrar que $AI=AR$.

http://www.jt.ues.edu.sv/foro/viewtopic.php?f=15&t=115

No múltiplos de la suma de sus dígitos

6. Demostrar que para todo entero positivo $n$ existen $n$ enteros positivos consecutivos tales que ninguno de ellos es divisible por la suma de sus respectivos dígitos.

http://www.jt.ues.edu.sv/foro/viewtopic.php?f=16&t=116

Los saluda

jmd

PD: Las gracias le sean dadas a Amanda Rhoton por compartir la dirección del sitio web con los problemas de la ibero 2012