Problemas ONMAPS 2013 --secundaria

El concurso de la ONMAPS 2013 celebrado la semana pasada en Culiacán, Sinaloa, consideró (as usual) cuatro categorías: primaria, y los tres grados de secundaria. De esta manera, se aplicaron 4 exámenes de 6 problemas cada uno, uno por cada categoría y en dos días (tres problemas por día). 

La cuestión que deseo aclarar aquí es que hay traslape de problemas de una categoría a la siguiente. Así que pongo enseguida todos los problemas de secundaria (que faltaban después de los que ya he publicado) sin especificar la categoría ni el día en que se aplicaron. Para el lector interesado en saber esos dos datos recomiendo visitar el (excelente) Facebook de la ONMAS Jalisco 

Un número lobola es un número formado por 10 dígitos diferentes que cumple las siguientes características:
a)abcdefghij son sus dígitos
b)abcd es divisor de 2013
c)cde y ef son múltiplos de 13
¿Cuántos números lobolas diferentes se pueden formar?

En Culiacán tienen un juego de billar con mesas que tienen la forma de triángulo equilátero, cuyos lados miden 2 metros. El campeón de este juego es capaz de realizarun tiro de manera quela bola empieza en un vértice y después de rebotar exactamente una vez en cada uno de los lados de la mesa, termina en otro vértice. Los rebotes en los lados de una mesa son tales que el ángulo de entrada es igual al ángulo de salida (como se muestra en la figura). Calcula la distancia que recorre la bola de billar al realizar ese trayecto.

Un número de tres cifras abc se llama culichi si cumple al mismo tiempo las siguientes condiciones:

• al elevar al cuadrado eñ número abc se obtiene el número de cinco cifras defgh
• al elevar al cuadrado el número cba (que también es de tres cifras) se obtiene el número de cinco cifras hgfed. 

​Encuentra todos los números culichis.

Un subconjunto del conjunto $\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$ se dice cuadrilibre si la suma de los elementos de cualquier subconjunto de él no es un cuadrado. Por ejemplo, el subconjunto $\{1,3,8\}$ no es cuadrilibre ya que tanto $\{1\}$ como $\{1,8\}$ son subconjuntos de él. ¿Cuál es el tamaño más grande que puede tener un subconjunto cudrilibre?

Sea $ABC$ un triángulo tal que sus ángulos $B$ y $C$ miden 100 y 62 grados, respectivamente. Sobre los lados $AB$ y $AC$ se toman los puntos $M$ y $N$, respectivamnente, tales que $\angle{MCB}=52, \angle{NBC}=80$. Obtén la medida de $\angle{CMN}$

Los saluda

jmd