XXIV Olimpiada Iberoamericana de Matemáticas (problema 5)

Enviado por jmd el 23 de Septiembre de 2009 - 14:01.

La sucesión $a_n$ está definida por

$a_1=1, a_{2k}=1+a_k$ y $a_{2k+1}=\frac{1}{a_{2k}}$, para todo entero $k\geq 1$.

Demostrar que todo número racional positivo aparece exactamente una vez en esa sucesión.

Ver también:

XXIV Olimpiada Iberoamericana de Matemáticas (problema 1) [1]

Ver también:

XXIV Olimpiada Iberoamericana de Matemáticas (problema 2) [2]

Ver también:

XXIV Olimpiada Iberoamericana de Matemáticas (problema 3) [3]

Ver también:

XXIV Olimpiada Iberoamericana de Matemáticas (problema 4) [4]

Ver también:

XXIV Olimpiada Iberoamericana de Matemáticas (problema 6) [5]

Usando los tres hechos

Enviado por darwinsigma el 24 de Septiembre de 2009 - 01:31.

Usando los tres hechos siguientes el problema sale trivial: -Los naturales aparecen en la sucesión, de hecho aparecen cuando el subindice de la sucesion es una potencia de 2. (el natural m aparece cuando el subindice es 2^(m-1)). -Por lo anterior, los recíprocos de los naturales aparecen en la sucesión es decir, 1/k para todo k perteneciente a los naturales aparece en la sucesión. -El algoritmo de Euclides. No se cmo escribir una demostración acá asi que solo eso diré. Gracias por los problemas.. los andaba buscando para ver que tal estuvo la olimpiada. Saludos.