Sea $ ABC $ un triángulo con $AB\neq AC$. Sean $ I $ el incentro de $ ABC $ y $ P $ el otro punto de intersección de la bisectriz exterior del ángulo $A $ con el circuncírculo de $ ABC $. La recta $PI$ intersecta por segunda vez al circuncírculo de $ ABC $ en el punto $J $. Demostrar que los circuncírculos de los triángulos $JIB$ y $JIC$ son tangentes a $IC$ y a $IB$, respectivamente.
Sale aplicando conocimientos
Sale aplicando conocimientos de ángulos inscritos y semi-inscritos y algunos otros conocimientos de ángulos (como que la bisectrices interna y externa forman un ángulo de 90 grados). Bastante fácil de hecho.
Otra vez gracias por publicar los problemas.
Ok si este problema no es
Ok si este problema no es dificil sale con "cazeria de angulos" aqui va mi solucion...
Las relaciones entre los angulos son faciles de ver o faciles de probar...
$\angle{BJP}=\angle{BCP}=\frac{1}{2}(180-\angle{BAC})=\frac{1}{2}(\angle{ABC}+\anlge{ACB})=\angle{CAP}=\angle{CJP}$
$\angle{PBI}=\angle{CBP}-\angl{CBI}=\frac{1}{2}(\angle{ABC}+\anlge{ACB}-\angle{ABC})=\frac{1}{2}\angle{ACB}=\angle{ICB}$ de manera similar se prueba que $\angle{CBI}=\angle{ICP}$
$\Rightarrow\angle{BIJ}=\angle{IBP}+\angle{BPJ}=\angle{BCJ}+\angle{ICB}=\angle{ICJ}$
Lo cual implica que el circuncirculo del triangulo $CIJ$ es tangente a $BI$(por que?)
$\Rightarrow\angle{CIJ}=\angle{CPJ}+\angle{ICP}=\angle{CBJ}+\angle{CBI}=\angle{IBJ}$
Lo cual implica que el circuncirculo del triangulo $BIJ$ es tangente a $CI$
Rapido, bonito, facil y sin trazos auxiliares saludos
Un poco tardío pero MaTeTaM
Un poco tardío pero MaTeTaM le da las gracias a Darwinsigma por su pequeña colaboración:
Gracias a tí por las sugerencias Darwinsigma, pues te tomaste la molestia de registrarte en MaTeTaM para hacer tu pequeña y valiosa colaboración. De vez en cuando échales una mano a estos muchachos tamaulipecos aficionados a las matemáticas...
Te saluda
jmd
PD: ...Y también a Brandon y a Fernando y a Casanova... MaTeTaM se congratula por el reconocimiento de la comunidad de usuarios aficionados a las matemáticas de concurso manifestada en más de 500 visitas diarias...