Enviado por Samuel Elias el 7 de Junio de 2026 - 09:45.
Una guerrera, con ayuda de un pueblo, atacará a un dragón durante 2026 días. Cada día se realiza exactamente una de las siguientes acciones:
Atacar: Cada guerrera le hace 1 punto de daño al dragón.
Entrenar: Exactamente una pueblerina entrena y se convierte en guerrera. Ninguna guerrera ataca ese día.
El daño total es la suma del daño hecho a lo largo de los 2026 días. [El pueblo cuenta con inicialmente a una guerrera.] ¿Cuál es la máxima cantidad de puntos de daño total que puede recibir el dragón?
Para maximizar la función de
Enviado por Samuel Elias el 8 de Junio de 2026 - 09:39.
Para maximizar la función de daño total usando cálculo, sería así.
Tenemos que la función de daño total es $f(k)=-k^2+2025k+2026$, entonces $f'(k)=-2k+2025=0$ para maximizar, entonces $k=\frac{2025}{2}=1012.5$. Como $k$ debe ser entero, podemos comparar $1012$ vs $1013$ y notamos que $k=1013$ maximiza la función.
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Otra sol. Ya demostrado que
Enviado por Samuel Elias el 8 de Junio de 2026 - 10:00.
Otra sol. Ya demostrado que la estrategia optima es EEE$\dots$AA,
digamos que existen varias aldeas.
$Claim:$ Una aldea que tiene al final de su entrenamiento $k$ guerreras supera en daño total a otra que tiene $k-1$ guerreras en el día $2k-1$ para $k \geq 2$.
$Proof:$ Para el caso $k=2$, tenemos que en el día 3, la aldea con 2 guerreras realiza $4$ de daño mientras que la de 1 guerrera realiza $3$ de daño. La hipótesis ya fue planteada. Para $k=l+1$, tenemos que la aldea con $l$ guerreras realiza su primer ataque en el día $l$ y la aldea con $l+1$ guerreras realiza su primer ataque en el día $l+1$. Tenemos que si la segunda aldea ataca $n$ días, entonces realiza $n(l+1)$ puntos de ataque, mientras que la primera $(n+1)l$. Entonces:
$$n(l+1)>(n+1)l \iff nl+n>nl+l \iff n>l$$. Entonces, a partir de $l+1$ días atacando, la segunda aldea supera, en daño, a la primera, por lo que han pasado en total $2l+1$ días, $l$ días de entrenamiento (para la segunda aldea) y $l+1$ días de ataque.
Como tenemos días limitados, sabemos que una aldea va a superar a otra en el día 2025 y esta será superada por otra en el día 2027, por lo que $2k-1=2025 \iff k=1013$. Entonces para el día 2025, esta aldea tuvo 1012 días de entrenamiento y 1013 días de ataque, pero como hay 2026 días, entonces fueron 1014 días de ataque, por lo que la respuesta es $(1013)(1014)$.
Para maximizar la función de
Para maximizar la función de daño total usando cálculo, sería así.
Tenemos que la función de daño total es $f(k)=-k^2+2025k+2026$, entonces $f'(k)=-2k+2025=0$ para maximizar, entonces $k=\frac{2025}{2}=1012.5$. Como $k$ debe ser entero, podemos comparar $1012$ vs $1013$ y notamos que $k=1013$ maximiza la función.
Otra sol. Ya demostrado que
Otra sol. Ya demostrado que la estrategia optima es EEE$\dots$AA,
digamos que existen varias aldeas.
$Claim:$ Una aldea que tiene al final de su entrenamiento $k$ guerreras supera en daño total a otra que tiene $k-1$ guerreras en el día $2k-1$ para $k \geq 2$.
$Proof:$ Para el caso $k=2$, tenemos que en el día 3, la aldea con 2 guerreras realiza $4$ de daño mientras que la de 1 guerrera realiza $3$ de daño. La hipótesis ya fue planteada. Para $k=l+1$, tenemos que la aldea con $l$ guerreras realiza su primer ataque en el día $l$ y la aldea con $l+1$ guerreras realiza su primer ataque en el día $l+1$. Tenemos que si la segunda aldea ataca $n$ días, entonces realiza $n(l+1)$ puntos de ataque, mientras que la primera $(n+1)l$. Entonces:
$$n(l+1)>(n+1)l \iff nl+n>nl+l \iff n>l$$. Entonces, a partir de $l+1$ días atacando, la segunda aldea supera, en daño, a la primera, por lo que han pasado en total $2l+1$ días, $l$ días de entrenamiento (para la segunda aldea) y $l+1$ días de ataque.
Como tenemos días limitados, sabemos que una aldea va a superar a otra en el día 2025 y esta será superada por otra en el día 2027, por lo que $2k-1=2025 \iff k=1013$. Entonces para el día 2025, esta aldea tuvo 1012 días de entrenamiento y 1013 días de ataque, pero como hay 2026 días, entonces fueron 1014 días de ataque, por lo que la respuesta es $(1013)(1014)$.
:)