P5. Polinomio con coeficientes en progresión geométrica

Enviado por Samuel Elias el 14 de Junio de 2025 - 01:52.

Sea $a_0, a_1, a_2, \dots$ una sucesión geométrica estrictamente creciente. Determina todos los números reales $x$ para los cuales existe $n \geq 0$ tal que:

$$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots + a_1x + a_0=0$$

Nota: Una sucesión geométrica es estrictamente creciente si existe una constante $r$ tal que $a_{n+1}=a_n\cdot r$ y además $a_{n+1}>a_n$ para toda $n \geq 0$.

Sugerencia

Sugerencia:

Observa que $a_0 \neq 0$. Puedes usar la fórmula de series geométricas o hacer álgebra creativa...

Solución

Solución:

La respuesta es $x=-\frac{1}{r}$ con $n$ impar.

Solución por Carolina Reyna:

Para que se cumpla que la sucesión $a_n$ es creciente:

$a_0 \neq 0$ (porque si no, $a_i = 0 \forall i$)
$r>0$

Sea $P(x)$ el polinomio del problema. Dadas estas condiciones, para que $P(x) = 0$, entonces $x<0$. Observe además que $a_i = a_0 \times r^i$ con $0 \leq i \leq n$

Entonces observe que:

$$\sum_{i=0}^{n}a_ix^i = a_0 + a_0xr + a_0(xr)^2 + \dots + a_0(xr)^n = 0$$

$$\iff xr\left(\frac{a_0}{xr} + a_0 + a_0xr + \dots + a_0(xr)^{n-1}\right) = 0$$

Como tenemos que $xr \neq 0$, entonces $\frac{a_0}{xr} + a_0 + a_0xr + \dots + a_0(xr)^{n-1} = 0 = P(x)$. Igualando ambas expresiones y cancelando términos, se obtiene que:

$$\frac{a_0}{xr} = a_0(xr)^n \iff (xr)^{n+1} = 1 \iff xr= \pm 1 \iff x = \pm \frac{1}{r}$$

Como $x<0$ y $r>0$ entonces $x = -\frac{1}{r}$. Ahora, vamos a analizar la paridad de $n$.

Si $n$ es par, entonces queda $a_0-a_0+\dots + a_0-a_0+a_0=0\iff a_0=0$ lo cual es contradicción.
Si $n$ es impar, queda $-a_0+a_0-\dots-a_0+a_0 = 0$ lo cual es cierto porque $0=0$.